29、经典与量子计算复杂度的统计力学

经典与量子计算复杂度的统计力学

在计算复杂度理论的研究中，我们常常会遇到一些极具挑战性的问题，例如NP完全问题和QMA完全问题。本文将深入探讨这些问题，并介绍如何运用统计力学的思想来分析它们。

1. 3 - SAT与NP完全问题

在计算复杂度理论中，3 - SAT问题是一个非常重要的NP完全问题。通过将布尔与门解释为三体相互作用，我们可以构建一个类似伊辛模型的模型，其中包含多项式数量的三体相互作用和非负能量。

如果图7.1所描述的3 - SAT实例具有零能量基态，那么存在一组导线变量的配置，使得电路能够正确运行并产生“接受”输出。在这种状态下，输入导线代表一个有效的证明，表明原始实例是一个“是”实例。反之，如果3 - SAT实例不可满足，则不存在使电路正确运行的状态，输出始终为“拒绝”。这表明所有NP问题都可以有效地归约为3 - SAT问题。

一旦我们确定了3 - SAT是NP完全问题，就可以通过找到从3 - SAT到其他问题的归约来证明许多其他问题也是NP完全问题。例如，旅行商问题和图着色问题等都是著名的NP完全问题。此外，确定三维或更高维±J伊辛模型的基态能量也是一个与物理相关的NP完全问题。

2. QMA完全性：Kitaev的贡献

复杂度类QMA是NP的量子模拟，它也包含一些完全问题，这些问题能够捕捉整个类的难度。Kitaev在21世纪初首次引入了QMA完全问题5 - 局部哈密顿量，并利用Feynman的历史态思想证明了其完全性。

为了简化讨论，我们将注意力集中在稍微简单的k - QSAT问题上，该问题对于k ≥ 4是QMA1完全的。QMA1是QMA的一个变体，其中验证误差是单边的：“是”实