39、数组排列分析与带过去算子的正则线性时态逻辑

数组排列分析与带过去算子的正则线性时态逻辑

1. 数组排列分析相关

在数据结构的分析中，多重集方程格不仅可以用于数组，还能应用于其他数据结构。以 Deutsch - Schorr - Waite 数据结构遍历算法为例，该算法用于遍历二叉结构（有向无环图或树），且不使用栈，而是通过重定向结构中的指针来存储返回路径。

在分析过程中，我们定义 $\hat{T}$ 为结构中包含的指针多重集，即最初可从结构根节点到达的节点中包含的指针。目标是证明在遍历结束时，这个多重集能够恢复，但目前该目标尚未达成，因为还需要额外条件，如程序结束时 root = prev ，以及初始结构中不出现 “ - 1” 等信息。不过，计算得到的不变式是精确的。以下是该算法不同阶段的状态及对应的多重集方程：
| 步骤 | 状态 | 多重集方程 |
| — | — | — |
| 初始化 | prev:=-1; cur:=root; | ${prev = -1, cur = root, \hat{T} = M}$ |
| 循环条件 | while cur<>-1 | ${\hat{T} = M \oplus root \oplus -1 \ominus cur \ominus prev}$ |
| 指针操作 | next:=cur->left; cur->left:=cur->right; cur->right:=prev; | ${\hat{T} = M \oplus root \oplus -1 \ominus cur \ominu