14、基于随机休眠方案的分布式优化算法

基于随机休眠方案的分布式优化算法

1. 预备知识

在网络系统中，我们考虑一系列网络 $G(k)$，其中 $k \geq 0$。在这些网络里，节点之间可以直接发送消息，并且假设网络 $G(k)$ 中不存在自环。

2. 分布式算法

为了克服网络不平衡性带来的限制，我们首先将优化问题 (7.1) 转换为其等价的上网络形式。对于一个函数 $h(x) : R^n \to R$，其 上网络定义为：
[
\text{epi } h = {(x, t)|x \in \text{dom}(h), h(x) \leq t}
]
通过上网络的定义，每个代理都有相同的线性目标函数。这样，问题 (7.1) 可以等价地重写为：
[
\min \sum_{i = 1}^{N} 1_N^T t, \text{ s.t. } f_i(x) - e_i^T t \leq 0, i \in V, (x, t) \in \Omega
]
其中，$t = [t_1, \ldots, t_N]^T \in R^N$，$\Omega = X \times R^N$ 是 $X$ 和 $R^N$ 的笛卡尔积。记 $\Omega_i = {(x, t) | f_i(x) - e_i^T t \leq 0, x \in X_i }$。

注 7.1 ：当且仅当 $h$ 是凸函数时，$\text{epi } h \in R^{n + 1}$ 是一个凸集。在 $\text{epi } h$ 中找到最小的附加变量 $t$ 等价于最小化 $h$。局部目标函数被转换为相同的线性函数 $f_0(y) = c