14、线性代数与主成分分析在数据处理中的应用

线性代数与主成分分析在数据处理中的应用

1. 计算克朗巴哈系数α

在数据处理中，克朗巴哈系数α（Cronbach’s alpha）是衡量内部一致性信度的重要指标。它基于经典测试理论（CTT），该理论认为观测分数等于真实分数加上误差，即 Observed Score = True Score + Error。克朗巴哈系数α的基本思想是，一组项目子集中的得分应与测试其余部分的得分相关。

1.1 公式

克朗巴哈系数α的计算公式为：
[
\alpha = \frac{k}{k - 1} \left(1 - \frac{\sum_{i=1}^{k} s_{i}^{2}}{s_{t}^{2}}\right)
]
其中，α 是克朗巴哈系数α，k 是项目数量，(s_{i}^{2}) 是项目 i 的方差，(s_{t}^{2}) 是总测试分数的方差。

1.2 R 语言实现步骤

以下是使用 R 语言计算 NHANES 身体功能测量相关矩阵的克朗巴哈系数α的步骤：
1. 计算每个人每个领域的总得分：

domain.totals <- phys.func.mat %*% design.matrix

总得分方差是总得分协方差矩阵的对角线：

tot.score.var <- diag(cov(domain.totals))

2. 找到每个量表中每个项目的总和