线性代数-第12篇：主成分分析（PCA）：跨领域降维技术

线性代数-第12篇：主成分分析（PCA）：跨领域降维技术

在人工智能、量化投资和大数据领域，数据维度高、噪声多是常见挑战。 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA） 作为线性代数的经典应用，通过特征值分解实现数据降维，既能保留核心信息，又能提升计算效率。本文将解析PCA的原理、计算流程及其在多场景中的实践价值。

一、PCA的核心思想：从高维到低维的信息浓缩

1. 问题背景

当数据维度过高（如图像的数千个像素、用户的数百个行为特征），会导致：

• 计算复杂：模型训练时间长，内存消耗大；
• 信息冗余：部分特征高度相关，携带重复信息；
• 过拟合风险：过多特征可能引入噪声，降低模型泛化能力。

2. 核心目标

PCA通过寻找数据的主成分方向，将高维数据投影到低维空间，同时尽可能保留原始数据的方差（信息量）。直观理解，PCA试图找到数据的“主要趋势”，忽略次要波动。

二、PCA的数学原理与计算步骤

1. 数据标准化

假设原始数据矩阵为