54、图论中车辆路径与通信生成树问题的近似算法研究

图论中车辆路径与通信生成树问题的近似算法研究

在图论领域，车辆路径问题和通信生成树问题一直是研究的热点。本文将详细介绍针对树形网络的带容量限制车辆路径问题以及最优通信生成树问题的近似算法。

带容量限制车辆路径问题

在树形网络中，当允许客户需求拆分时，提出了一种高效的 1.5 - 近似算法。
1. 算法分析
- 首先通过一系列推导得出：
[
\frac{cost(P)}{LB(P)} \leq \frac{cost1 + cost(P’)}{2w(path(r, v)) + 2w(T_{v1}) + LB(P’)} = \frac{2w(path(r, v)) + 4w(T_{v1}) + cost(P’)}{2w(path(r, v)) + 2w(T_{v1}) + LB(P’)}
]
由于归纳假设 ( \frac{cost(P’)}{LB(P’)} \leq 1.5 ) 成立，所以只需证明 ( \frac{2w(path(r, v)) + 4w(T_{v1})}{2w(path(r, v)) + 2w(T_{v1})} \leq 1.5 ) 。利用之前的条件可证明该式成立，从而得出 ( \frac{cost(P)}{LB(P)} \leq 1.5 ) 。
- 该算法每一轮的运行时间为线性时间，总运行时间为 ( O(\sum_{v \in V} D(v) \cdot n) ) ，当 ( \sum_{v \in V} D(v) ) 是关于 ( n ) 的多项式时，总运行时间也是多项式时间。
2. 下界分析
- 通过一个具体例子说明该算法的