55、图论中通信生成树与边不相交路径问题研究

图论中通信生成树与边不相交路径问题研究

1. 最小 2 - 星算法

在图论的通信生成树问题研究中，最小 2 - 星算法是一个重要的部分。首先，我们来看 2 - 星的定义。设 $G = (V, E, w)$ 是一个度量图，$G$ 的 2 - 星是 $G$ 的一棵生成树，且内部节点最多有两个。假设 $x \in X$，$y \in Y$，$X$ 和 $Y$ 是 $V$ 的一个划分，用 $2star(x, y, X, Y)$ 表示边集为 ${(x, v)|\forall v \in X} \cup {(y, v)|\forall v \in Y} \cup {(x, y)}$ 的 2 - 星。

对于 2 - 星 $T = 2star(x, y, X, Y)$，若 $R = \sum_{v \in X \cup Y} r(v)$，则有：
$Cp(T) = 2r(X)r(Y)w(x, y) + 2\sum_{v \in X} (R - r(v))w(x, v) + 2\sum_{v \in Y} (R - r(v))w(y, v)$

为了找到最小的 2 - 星，我们可以通过尝试所有可能的顶点对 $(x, y)$ 来解决问题。对于任意指定的 $x$ 和 $y$，如果能在 $O(f(n))$ 时间内找到最佳划分 $X$ 和 $Y$，那么通过尝试所有可能的顶点对，就能在 $O(n^2f(n))$ 时间内解决最小 2 - 星问题。

为了找到最佳划分，我们构造一个无向完全图 $H = (V, V \times V, h)$，其边权 $h$ 定义如下：
1. $h(x, y) = 2r(x)r(y)w(x, y)$
2. $h(x, v) = 2(R