31、含边故障的随机正则图与量子算法：从边删除到西蒙问题的高效求解

含边故障的随机正则图与量子算法：从边删除到西蒙问题的高效求解

1. 随机正则图中的边处理

在随机正则图的研究中，边故障是一个常见的问题。为了处理含边故障的图，我们需要用到一些特定的算法和概念。

1.1 Search 过程

Search(S) 过程用于在图中寻找满足特定条件的路径。其具体步骤如下：
1. 初始化路径 Path 为 {S}。
2. 当路径长度不超过 k 且路径的一端存在一个类 T，使得 |T ∩ Free| > 0 时，进行以下操作：
- 确定性地选择这样的类 T。
- 当 |T ∩ Free| > 0 时，进行以下操作：
- 确定性地选择一个节点 x ∈ T ∩ Free。
- 从 Free \ {x} 中均匀分布地选择一个节点 y。
- 以概率 p′ 将边 (x, y) 添加到 E 中，以概率 1 - p′ 将其添加到 ¬E 中。
- 如果 (x, y) ∈ E，则将 y 所在的类 R 添加到路径中。若 |R ∩ Free| < d - 1 或由于 R 的存在路径无法扩展为 k 个类的孤立路径，则返回错误。
- 如果 (x, y) ∈ ¬E 且这意味着路径无法按要求扩展，则返回错误。

当步骤 2 的 while 循环正常结束时，Search(S) 成功返回。在 Gen 中调用 Search(S) 时，其成功概率不为 0。通过将 Gen 的每次计算可视化为概率树中的一条路径，我们可以得出，在给定的历史 H 下，Search(S) 无错误结束的概率 ≥ ε(d, κ′, γ, k) > 0。因此，Search(S) 成功返回的期望次