23、量子算法：从基础到高级应用

量子算法：从基础到高级应用

1. 伯恩斯坦 - 瓦齐拉尼算法

在量子计算领域，伯恩斯坦 - 瓦齐拉尼算法是一个具有重要意义的算法。假设要猜测一个介于 0 到 15 之间的数字，传统方法可能会依次询问“是 0 吗？”“是 1 吗？”等，这种方式的复杂度是 O(n)。而经典的二分查找法，如询问“大于 7 吗？”“大于 11 吗？”等，复杂度为 O(log₂(n))。但使用伯恩斯坦 - 瓦齐拉尼算法，只需调用一次预言机就能得到答案。

1.1 问题描述

将问题从猜测数字转换为猜测比特串。例如，要猜测的“秘密字符串” s 为 13，对应的比特串是 1101。预言机函数 f 会返回秘密字符串 s 与输入比特串的点积模 2 的结果。通过多次调用预言机，如 f(1000) = 1，f(0100) = 1，f(0010) = 0，f(0001) = 1，就能唯一确定秘密字符串。此算法的复杂度为 O(log₂(16))。我们的目标是构建一个能确定 s 的电路。

1.2 电路实现

将比特串长度从 4 推广到 n。秘密字符串 s 表示为 sₙ₋₁···s₁s₀，其中每个 sⱼ 为 0 或 1。预言机 f 计算 s 与输入比特串的点积模 2。电路可以直接实现 Uf，将 |x⟩ 映射到 (-1)ᵗ⁽ˣ⁾|x⟩，或者采用 Deutsch - Jozsa 算法的变体。在测量前，量子态的表达式为：
[
\frac{1}{2^n} \sum_{v \in {0,1}^n} \left( \sum_{x \in {0,1}^n} (-1)^{f(x)} (-1)^{x \cdot v} \right) |v⟩ = \frac{1}{2^n} \sum