5、平面中加权直线中位数和中心集的计算

平面中加权直线中位数和中心集的计算

在平面中，当存在障碍物和源点时，计算加权直线中位数和中心集是一个具有实际应用价值的问题。本文将详细介绍相关的计算方法和算法。

1. 中位数集的计算

1.1 中位数集的位置

通过源点的谷和障碍物的边，将自由空间 $FP(B)$ 划分为子区域，这种划分称为谷划分 $VP(S)$，每个子区域称为谷子区域。在假设没有虚空障碍物的情况下，每个谷子区域是一个简单的直线多边形。

对于自由空间中的水平线段 $L$，$L$ 上到所有源点距离之和最小的点称为 $L$ 上的候选中位数点。设 $L = [p, q]$ 是自由空间中的最大水平线段，其端点 $p$ 和 $q$ 可能位于障碍物边界或无穷远处。$L$ 与源点的垂直谷或脊的交点（除端点 $p_1$ 和 $p_m$ 外）按 $x$ 坐标升序排列为 $p_1, p_2, \cdots, p_m$。考虑 $L$ 上连续的三个点 $p_{i - 1}, p_i, p_{i + 1}$，记 $I = [p_{i - 1}, p_{i + 1}]$，源点集 $S$ 可划分为四个子集 $S_1, S_2, S_3, S_4$：
- $S_1$ 中的源点到 $I$ 内点 $p$ 的距离函数 $f_L^s(p)$ 在 $I$ 上单调递减。
- $S_2$ 中的源点到 $I$ 内点 $p$ 的距离函数单调递增。
- $S_3$ 中的源点在 $p_i$ 处产生谷点。
- $S_4$ 中的源点在 $p_i$ 处产生脊点。

对于每个区间 $I_i = [p_i, p_{i + 1}]$（称为 $L$ 上的基本区间），任意源点 $s \in S$ 到 $I