58、对流主导扩散问题的快速求解方法

对流主导扩散问题的快速求解方法

1. 任意系数的对流 - 扩散问题

在模拟实际应用中的对流 - 扩散方程时，对流和扩散系数会随时间步长变化。为使问题更具通用性以用于实际模拟，将问题推广到任意 $\epsilon$ 系数。对于给定的 $\epsilon \in R$，需找到 $u_h \in U_h$，满足：
$\hat{b}(\epsilon, u_h, v_h) = l(v_h)$，$\forall v_h \in \hat{V}_h$
其中 $\hat{b}(\epsilon, u_h, v_h) = \epsilon (u’_h, v’_h)_0 + (u’_h, v_h)_0 + u_h(0)v_h(0)$。

此问题求解困难，因为使用 Petrov - Galerkin 方法进行稳定化时，需要合适的最优测试函数空间 $\hat{V}_h$，且最优测试函数 $v_h$ 会因 $\epsilon$ 不同而不同。当 $\epsilon$ 较小时，问题在数值上不稳定，因此希望最优测试函数能快速适应不同 $\epsilon$ 值的新问题。

2. 理论 $U_h$ 和 $V_h$ 空间的影响与限制

为找到最优测试函数，回顾 $b(\cdot, \cdot)$ 满足不等式 $\alpha |u|^2 \leq b(u, u) \leq M |u|^2$，其中 $M$ 是连续性常数（$b(u, v) \leq M |u| |v|$），$\alpha$ 是强制常数（$b(u, u) \geq \alpha |u|^2$），且 $\frac{M}{\alpha} \geq 1$。

理想情况下，Galerkin 解 $u_h$ 的近似误差应等