10、信号处理中的傅里叶分析与离散时间滤波器

信号处理中的傅里叶分析与离散时间滤波器

1. 数字频率与实际频率

离散时间信号的概念性表示依赖于无量纲“时间”的概念，由整数索引 (n) 表示。时间没有物理维度这一特性，使得所有离散时间信号处理工具对实际信号的底层物理性质“一视同仁”，无论是股票交易数据还是采样后的管弦乐，都只是数字序列。同样，我们推导出的信号频率表示也是基于无量纲频率的概念。由于傅里叶基的周期性，我们知道 (\pi) 是该模型中能表示的最高数字频率。这种通用性的优势十分明显，例如，一个旨在去除信号频谱上半部分的数字滤波器，可用于任何类型的输入序列，并产生相同的效果。这与模拟信号处理形成鲜明对比，在模拟信号处理中，针对每一类新的输入信号，都必须重新设计半带滤波器（由电容器、电阻器和其他电子元件组成）。

然而，这种无量纲的抽象概念在直观理解上存在一定的弊端。在现实世界中，我们习惯用秒来表示时间，用赫兹来表示频率。例如，语音的带宽可达 4 KHz，人耳对高达 20 KHz 的频率敏感，手机在 GHz 频段传输信号等。那么，在这些情况下，“(\pi)” 究竟意味着什么呢？现实世界信号与离散时间信号处理之间的精确、正式联系由采样定理给出。其基本思想是，通过为离散时间序列中连续索引之间的间隔赋予一个时间长度，我们可以消除离散时间信号（以及相应的无量纲频率）的抽象性质。

假设离散时间序列中索引 (n) 和 (n + 1) 之间的“现实世界”时间为 (T_s) 秒（通常 (T_s) 非常小），这可能对应于每隔 (T_s) 秒对信号进行一次采样，或者使用时钟周期为 (T_s) 秒的 DSP 芯片生成合成序列。回顾一下，一般复指数 (e^{j\omega_0n}) 的连续样本之间的相位增量为 (\omega_0) 弧度。因此，该振