15、矩阵缩放测试多项式等价性

矩阵缩放测试多项式等价性

1. 多项式插值与单项式提取

首先，我们通过在 poly(n, Δ, 1/ϵ) 个值上对 ˆf 进行求值来对其进行插值。具体来说，对于每个 xi，我们将多项式数量的 v 值代入 vai。虽然 ˆf 的最低非零系数也是 f 的一个系数，但目前我们还不清楚这个单项式的次数模式。

接下来，我们修改第一步的替换，将 x1 替换为 2ya1。这样， ˆf 的最低非零系数将乘以 2d1，其中 d1 是 f 中唯一映射到 ˆf 最低次单项式的单项式的 x1 次数。对所有 xi 都进行这样的操作，我们就可以提取出该单项式的次数向量。

2. 张量与张量秩

我们定义 t = (ti,j,ℓ) ∈ Rn×n×n 为一个张量。秩为 1 的张量可以写成 u ⊗ v ⊗ w 的形式，其中 u, v, w ∈ Rn。将 t 表示为这些秩为 1 的张量之和所需的最小数量，称为 t 的秩。

与张量 t 相关联的三线性形式为：
[F(x, y, z) = \sum_{i,j,\ell=1}^{n} t_{i,j,\ell}x_iy_jz_{\ell}]

所谓的单位张量 er ∈ Rr×r×r 由三线性形式给出：
[E_r = \sum_{i=1}^{r} x_iy_iz_i]

有如下已知事实：
命题 1：设 t = (ti,j,ℓ) ∈ Rn×n×n 为一个张量。t 的张量秩有界于 r 当且仅当存在矩阵 S, T, U ∈ Rr×n，使得 F(x, y, z) = Er(Sx, Ty, Uz)。

3. PolyProj 问题的难度

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