10、图匹配路由的新成果

图匹配路由的新成果

1. 路由与可满足性

在图的路由问题中，我们关注图 $G_φ$ 与排列 $\pi$ 的路由数 $rt(G_φ, \pi)$。当且仅当 $φ$ 可满足时，$rt(G_φ, \pi) = 3$。这里的证明思路是：
- 若 $φ$ 可满足，对于每个变量 $X$，若文字 $x$ 为真，则在 $G_X$ 上使用右下角路由；否则使用左上角路由。这样能确保每个子句图中至少有一个拥有的顶点。
- 若 $rt(G_φ, \pi) = 3$，则每个子句图至少有一个拥有的顶点。若 $x$ 在某个子句图中是自由顶点，那么 $\neg x$ 在其他任何子句图中都不是自由顶点，否则变量图 $G_X$ 无法在 3 步内完成自身的排列路由。因此，自由顶点的集合将是 $φ$ 的一个满足赋值。而且，$G_φ$ 的顶点数在 $n$ 和 $m$（分别为 $φ$ 中的变量数和子句数）上是多项式有界的，并且 $G_φ$ 可以在多项式时间内明确构造。

由此得出推论：即使 $G$ 被限制为 2 - 连通图，计算 $rt(G, \pi)$ 仍然是困难的。

2. 连通彩色划分问题（CCPP）

设 $G$ 是一个顶点用 $k$ 种颜色着色的图。一个顶点集 $V$ 的划分 $S = {S_1, \ldots, S_r}$ 若满足以下条件，则称其尊重着色 $C$（其中 $C : V \to {1, \ldots, k}$）：每个划分要么包含某种颜色的所有顶点，要么不包含该颜色的任何顶点（必然 $r \leq k$），并且对于每个 $i$，诱导子图 $G[S_i]$ 是连通的。

给定图 $G$、着色 $C$（有 $k$ 种颜色）和整数 $t \leq n$