9、图上基于匹配的路由新成果

图上基于匹配的路由新成果

1. 引言

路由匹配模型是由Alon等人提出的一种用于解决连通无向图上的并行路由问题的模型。在这个模型中，考虑一个无向标记图G，每个顶点都有一个与顶点标签相同的“石子”。石子通过一系列交换沿着边移动，同时发生的一组不相交的交换被称为一个“步骤”，这由匹配来决定。一个排列π给出了每个石子的目标顶点，即顶点v上的石子pv的目标是顶点π(v)。任务是通过一系列匹配将每个石子路由到其目标位置。

路由时间rt(G, π)定义为对于给定排列π，路由所有石子所需的最少步骤数。图G的路由数rt(G)定义为所有排列下的最大路由时间。

确定路由时间是群的最小生成序列问题的一个特殊情况，该问题已被证明是NP - 难的，甚至是PSPACE - 完全的。此外，还有串行版本的路由问题，如Yamanaka等人提出的令牌交换问题，该问题也是NP - 完全的，并且难以近似。其推广的彩色令牌交换问题在颜色数至少为3时也是NP - 完全的，双色情况是多项式时间可解的。

2. 先前结果

• 一般连通图 ：Alon等人证明对于任何连通图G，rt(G) ≤ 3n，通过考虑G的生成树并仅使用树的边来路由排列。后来Zhang等人将这个上界改进到3n/2 + O(log n)，使用了一种新的分解方法——毛毛虫分解。对于星型图K₁,ₙ₋₁，路由某些排列需要⌊3(n - 1)/2⌋步，说明这个界基本是紧的。
• 特殊图 ：
  • 完全图的路由数是2，完全二部图的路由数是4。
  • Li等人扩展结果表明，对于Kₛ,