15、单边匹配市场与定位路由问题的算法分析

单边匹配市场与定位路由问题的算法分析

在单边匹配市场和定位路由问题的研究领域，有许多重要的算法和理论成果。下面将详细介绍单边匹配市场中 RSD 和 PS 机制的社会福利分析，以及 k - 定位路由问题的算法求解。

单边匹配市场中的社会福利分析

单边匹配市场主要研究 RSD（Random Serial Dictatorship）和 PS（Probabilistic Serial）机制的社会福利，从序数福利因子和线性福利因子两个方面进行衡量。

RSD 与在线二分匹配

在线二分匹配问题中，一个分区的顶点（可看作代理）是固定的，另一个分区的顶点（可看作物品）按对抗顺序到达。Karp、Vazirani 和 Vazirani 提出的 KVV 算法，通过固定代理的随机顺序，当物品到达时将其分配给该顺序中第一个未匹配的代理，证明了所获得匹配的期望大小至少是最优匹配的 (1 - 1/e) 倍。

RSD 与在线二分匹配有一定关联，但 RSD 存在一个问题，即代理到达时分配的物品可能比基准匹配中的物品差，这可能影响后续代理的分配。不过，相似的技术可用于证明两者的结果，并且 RSD 的分析可用于证明在线二分匹配的结果。

PS 机制的序数福利因子

对于 PS 机制的序数福利因子，有如下观察：在时间小于 j/n 时，对于任意 1 ≤ j ≤ n，最多有 (j - 1) 个物品被完全分配。设 M 为未知的基准匹配，对于代理 a，设 ta 为物品 M (a) 被完全分配的时间。代理 a 获得物品 M*(a) 或更好物品的概率恰好为 ta，PS 机制的序数福利因子为所有代理的 ta 之和。由此可得，PS 机制的序数福利因