13、机器学习中的贝叶斯与马尔可夫模型

机器学习中的贝叶斯与马尔可夫模型

在概率框架下的机器学习领域，贝叶斯模型和马尔可夫模型是两个重要的概念。贝叶斯模型基于贝叶斯定理，常用于从已知变量推断未知变量；马尔可夫模型则用于建模具有随机变化的系统。下面我们将详细介绍这两种模型。

贝叶斯模型

在概率框架下的机器学习中，基于贝叶斯定理的贝叶斯学习是常用方法之一，也被称为贝叶斯推理或贝叶斯推断。贝叶斯模型的特点是从数据中获取假设，然后用该假设进行预测，通过已知变量推断未知变量及其条件分布。

贝叶斯定理

设 $X$ 和 $Y$ 为离散随机变量，贝叶斯定理可表示为：
$P(Y|X) = \frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)}$
其中，$P(X|Y)$ 是条件概率，称为似然概率或似然；$P(Y)$ 是先验概率或先验；$P(X)$ 是证据；$P(Y|X)$ 是条件概率，称为后验概率或后验。该定理的证明并不复杂，根据联合概率方程可推导得出。贝叶斯定理也可写成：
$Posterior = \frac{Likelihood \times Prior}{Evidence}$
即已知先验、证据和似然时，可求出后验。对于连续随机变量，贝叶斯定理同样成立。

贝叶斯学习

人们常根据已知结果推断原因，根据贝叶斯定理可表示为：
$P(Cause|Effect) = \frac{P(Effect|Cause)P(Cause)}{P(Effect)}$
其中，$P(Effect|Cause)$ 是因果关系的似然，$P(Cause)$ 是原因的先验概率，$P(Effect)$ 是结果的证据。已知这些条件时，可从结果推断原因，即后验