29、设计优化中的降维与代理建模技术

设计优化中的降维与代理建模技术

1. 问题维度的影响

在设计优化问题里，降低问题维度是建模与问题表述的重要方面。下面介绍两种降低维度和设计实验的方法。

1.1 设计变量链接

当优化问题中的设计变量数量较多时，可通过设计变量链接来降低维度。具体做法是使用等式约束来定义变量之间的链接，将一个设计变量的值用一个或多个其他设计变量表示。

设优化问题由 $n$ 维设计变量向量 $x$ 定义，若 $n$ 较大且计算成本高，可通过常数矩阵 $T$ 进行线性变换，将其重新定义为 $m$ 维设计变量向量（$m < n$），变换公式为：
$x_{n×1} = T_{n×m} m×1$

例如，从 3 个设计变量降至 2 个设计变量的形式为：
$x_{3×1} = 2×1$

下面通过一个例子说明设计变量链接的应用。

示例 ：当结构承受高压缩应力时，屈曲是常见的失效模式。有一根两端铰接的垂直铝柱，高度 $l = 0.5m$，其横截面如图所示，$h$ 的值是 $b$ 的四分之一，柱顶承受力 $P = 35.5N$，铝在室温（$21°C$）下的杨氏模量为 $69 GPa$。此优化问题仅考虑屈曲失效，目标是最小化柱的体积。

矩形的面积惯性矩为：
$I_0 = $

柱能承受的临界力为：
$P_{cr} = $

其中，$P$ 为临界力，$E$ 为弹性模量，$I_0$ 为面积惯性矩，$l$ 为柱的无支撑长度，$K$ 为柱的有效长度系数，对于两端铰接的柱，$K = 1$。

优