26、优化问题的多种求解方法

优化问题的多种求解方法

在优化问题的求解领域，有多种方法可以应对不同类型的约束条件。下面将详细介绍几种常见的优化方法。

1. 变量消元法

当一个优化问题仅包含等式约束时，可以通过消去变量将其转化为无约束问题进行求解。这类问题的定义如下：
假设问题定义中，$N$ 表示设计变量的数量，$n$ 表示等式约束的数量。若 $N > n$ 且 $n$ 个等式约束相互独立，那么可以求解这些等式约束，并将 $n$ 个变量的表达式代入目标函数。这一过程会使变量数量从 $N$ 减少到 $N - n$，同时将有约束优化问题转化为无约束问题，进而可以使用无约束优化问题的求解方法来寻找最优解。

例如，使用消元法求解以下具有等式约束的优化问题：
目标函数：（13.13）
约束条件：（13.14）、（13.15）
将等式约束简化为（13.16）、（13.17），把 $x_2$ 和 $x_3$ 的表达式代入有约束优化问题的目标函数，得到无约束问题（13.18）。求解该无约束优化问题，得到最小点 $x^* = 0.1667$，目标函数的最小值为 $−3.1667$。

2. 惩罚函数法

惩罚函数法是用一系列子问题来替代原优化问题，在目标函数中加入约束的函数形式。其核心思想是，在极限情况下，子问题的解将收敛到原约束问题的解。根据添加不等式约束的方式，惩罚函数法可分为两类：
- 内点法 ：生成一系列可行点。
- 外点法 ：生成一系列不可行点。

惩罚函数法将有约束优化问题重新表述为无约束优化问题，该无约束问题由两部分组