22、线性规划问题的求解方法与技巧

线性规划问题的求解方法与技巧

1. 线性规划问题的解的类型

线性规划（LP）问题的解有多种类型，下面通过具体例子来进行研究。
- 唯一解 ：考虑特定的LP问题，通过绘制约束条件和目标函数等高线，会发现存在一个唯一解，此时目标函数等高线在可行域内取得最小值。若在目标函数中添加一个常数，设计变量的最优值不会改变，因为常数不影响函数等高线的斜率，但目标函数的最优值会改变。
- 线段解 ：对于某些LP问题，可能存在无穷多个解，表现为线段解。当目标函数的斜率与某个约束函数的斜率相同时，优化过程中目标函数会与该约束函数重合，从而在相应线段上产生无穷多个解。
- 无解 ：有些LP问题不存在可行解。当各个不等式约束的可行域没有交集时，就不存在满足所有约束条件的解，该问题无解。
- 无穷解 ：部分问题会导致解在无穷远处。其可行域无界，无法得出有限的最优值，解位于无穷处。无约束的线性规划问题通常有在无穷处的解，但这种情况在实际中很少遇到；相反，无约束的非线性规划问题在实际中较为常见，非线性优化问题不一定需要约束条件就能得到有限的最优解。

对于小规模的LP问题，可以采用图形方法求解；对于大规模问题，则需借助LP求解算法的软件实现，但图形可视化手段可用于检验大规模LP问题的解。

2. 使用MATLAB求解LP问题

MATLAB中的 linprog 命令可用于求解LP问题。MATLAB的LP求解器采用了多种数值方法的变体， linprog