19、优化问题的离散与实践探索

优化问题的离散与实践探索

1. 离散优化基础

1.1 概述

以往关注的是涉及连续设计变量的优化问题求解方法。但在实际工程设计中，常存在离散选择情况，如产品中组件数量须为正整数，此时设计变量须限制在给定离散数集内，这类问题即离散优化问题。

1.2 离散优化的定义

离散优化能解决诸多实际问题，广泛应用于工业运营、交通和金融等领域。通用离散优化问题可定义如下：
- 目标函数与约束条件：存在设计变量向量 x、y 和 z，目标函数为 f(x)，g(x) 和 h(x) 分别为不等式和等式约束，Zm 是给定可行整数集，Rn 是实数集，A 是由给定可行离散值构成的组合集。
- 问题分类：
1. 纯整数规划问题：仅存在 x，设计变量只取整数值。
2. 混合整数规划问题：x 和 y 都存在，部分设计变量取整数值，部分取连续值。
3. 离散非整数优化问题：仅存在 z，设计变量从给定离散值集中选取。
4. 二进制规划问题：仅存在 x，且只能取 0 或 1，也叫零一规划问题。
5. 组合优化问题：仅存在 z，可行解由给定可行离散值构成的组合集定义。

对于纯有限离散优化问题（无连续变量），理论上可用穷举搜索评估所有可能设计以确定最优解，但实际中该方法仅适用于极小问题，对于中等规模和工业级问题，计算量过大。

1.3 穷举搜索

穷举搜索是解决小规模离散问题的直接方法，它枚举所有可行候选解，其中最优者即为最优解。该方法适用于组合数可管理的优化问题。

示例 ：求解组合优化问题
目标函数及约