15、优化问题中的变量与函数缩放策略

优化问题中的变量与函数缩放策略

在优化问题中，设计变量、目标函数和行为约束的缩放是提高优化算法性能和结果准确性的重要手段。下面将详细介绍这些方面的缩放方法和相关注意事项。

1. 设计变量缩放

当设计变量的值处于理想的数量级时，通常不需要进行缩放。设计变量的缩放主要在三个位置进行：主文件、目标函数评估和约束评估。

1.1 基本缩放公式

为了使设计变量的数量级接近1，可使用以下简单的缩放形式：
[x_i^s = \alpha_i^s x_i]
其中，(n_x) 是设计变量的数量，(\alpha_i^s) 是一个常数，选择该常数使得 (\alpha_i^s x_i) 近似等于1。反缩放过程则为 (x_i = \frac{x_i^s}{\alpha_i^s})。设计变量的上下界也可以进行相应的缩放。

1.2 多次优化运行

如果初始设计变量与最终或最优值相差几个数量级，可能需要进行多次优化运行，每次使用更新后的缩放因子。例如，若 (x_{3 - initial} = 12345.67)，而 (x_{3 - optimal} = 0.012345)，第一次优化使用基于 (x_{3 - initial}) 的缩放因子，可能对 (x_{3 - optimal}) 得不到准确结果。此时，可根据第一次优化的结果确定新的缩放因子，进行第二次优化，通常能得到更准确的结果。

1.3 公差定义与精度

在讨论设计变量缩放时，需要明确小数精度（Decimal Accuracy, DA）和有效数字位数（Number of Significant Digits, NSD）的概念。以下通过两个场景来说明：