6、数学优化基础：函数特性与优化条件解析

数学优化基础：函数特性与优化条件解析

1. 凸函数与凹函数

1.1 凸函数定义

若函数 ( f(x) ) 在区间 ( [a,b] ) 内二阶可导，那么它在该区间为凸函数的充要条件是，对于 ( [a,b] ) 内的所有 ( x )，二阶导数 ( f’‘(x) > 0 )。

1.2 凹函数定义

若函数 ( -f(x) ) 在区间 ( [a,b] ) 内是凸函数，则称函数 ( f(x) ) 在该区间为凹函数。凹函数的定义与凸函数恰好相反。从图像上看，连接 ( a ) 和 ( b ) 处函数值的直线完全位于或低于 ( a ) 和 ( b ) 之间定义的函数。

2. 函数极限

2.1 极限概念

考虑函数 ( f(x) )，当 ( x ) 趋近于值 ( x_0 ) 时，函数 ( f(x) ) 有极限 ( L )。简单来说，就是当 ( x ) 接近 ( x_0 ) 时，函数 ( f(x) ) 趋近于值 ( L )，数学上表示为特定形式（原文未给出完整表达式）。

2.2 极限计算示例

设函数 ( f(x) = \frac{(a + x)^2 - a^2}{x} )，求当 ( x ) 趋近于 0 时该函数的极限，只需将 ( x = 0 ) 代入上述方程即可得到结果。

3. 导数

3.1 导数定义

函数 ( f(x) ) 在某点 ( x ) 处的导数，衡量了该函数随变量 ( x ) 变化的速率。也就是说，导数表示函数相对于输入变量的变化率，或者是 ( f(x) ) 在点 ( x ) 处的瞬