57、二叉搜索树的组合与多指针模拟

二叉搜索树的组合与多指针模拟

在数据结构领域，二叉搜索树（BST）是一种非常重要的数据结构，它在搜索、插入和删除操作中有着广泛的应用。本文将深入探讨BST的相关模型、组合方法以及多指针模拟技术。

1. 预备知识

1.1 BST模型

BST数据结构将来自全序集合 $S$（$|S| = n$）的元素存储在一棵有根树中。树中的每个节点存储 $S$ 中的一个元素，称为该节点的键。同时，节点还存储三个指针，分别指向其父节点、左子节点和右子节点。左子树中的任何键都小于该节点的键，右子树中的任何键都大于该节点的键。除了键和指针外，每个节点还可以存储额外的数据。

在本文中，我们主要关注成功的搜索操作，称为访问。BST数据结构通过一个名为“手指”的单指针来实现这些搜索。手指最初指向树的根节点，每次操作后指向的节点被称为被触摸的节点。访问序列 $(x_1, x_2, …, x_m)$ 满足 $x_i \in S$ 。BST通过对手指执行一系列单位成本操作（如跟随左子指针、右子指针、父指针以及进行旋转操作）来执行每个访问，使得包含搜索键 $x_i$ 的节点被触摸。访问的运行时间是执行该访问期间执行的单位成本操作的数量。

离线BST数据结构根据整个访问序列执行每个操作，而在线BST数据结构根据以当前访问结尾的访问序列的前缀执行每个操作。此外，现实世界的BST数据结构可以用常数数量的 $O(\log n)$ 位寄存器和每个节点 $O(\log n)$ 位的增强数据来实现。

1.2 多手指BST模型

多手指BST模型与BST模型基本相同，唯一的区别是它有常数数量的手指，所有手指最初都指向根节点。

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