41、随机图生成与多面体短路径查找算法

随机图生成与多面体短路径查找算法

在计算机科学领域，随机图生成和多面体中短路径查找是两个重要的研究方向。本文将介绍高效生成随机图的方法，以及利用影子顶点算法在多面体中查找短路径的相关内容。

随机图生成

随机图在许多领域都有广泛应用，如网络建模、社交网络分析等。这里主要介绍Erdős - Rényi和Chung - Lu随机图的高效生成方法。

Erdős - Rényi随机图生成

原有的高效生成算法，对于每个顶点 (u \in [n])，按降序采样其邻居 (v \in [u - 1])。定义 (v_0 := u)，顶点 (u) 的第一个邻居 (v_1) 服从 (v_1 \sim v_0 - 1 - Geo(p, v_0 - 1))，其中 (v_1 = 0) 表示 (u) 没有邻居，后续邻居依次类推。该算法使用 (m + n) 个有界几何变量，(m) 是最终图中的边数（随机变量）。

假设 (w = \Omega(\log n))，原算法除了生成有界几何变量 (Geo(p, k))（(k \leq n)）外，其他操作在字RAM上的最坏情况常数时间内完成。而使用改进算法，生成有界几何变量的期望时间为 (O(1 + \log(\min{n, 1/p})/w) = O(1))。

设修改后算法采样有界几何变量的时间为 (X_1 + \cdots + X_T)，其中 (T) 是采样的有界几何变量数量（随机变量），(X_i) 是采样第 (i) 个变量的时间，且 (E[X_i | T \geq i] = O(1))。根据引理，可将 (E[X_1 + \cdots + X_T]) 界为 (O(E[T]))。由于原算法花费时间为 (\Ome