36、流式模型中三角形计数的复杂度分析与算法设计

流式模型中三角形计数的复杂度分析与算法设计

1. 研究背景与问题提出

在流式模型中，研究三角形计数问题的“最坏情况”的更精细概念是很有意义的。例如，当图恰好有 $m$ 条边或至少有 $T$ 个三角形时，Triangles(1) 的空间复杂度是多少；当允许对数据流进行两次遍历而非一次时，Triangles(2) 的空间复杂度又是多少。在这些情况下，之前的下界可能并不适用。

2. 主要研究成果

• 定理 1 ：存在 $c_1, c_2 > 0$，使得当输入是一个具有 $m \in [c_1n, c_2n^2]$ 条边的 $n$ 顶点图时，Triangles(1)（即一次遍历）的任何算法的空间复杂度为 $\Omega(m)$。即使图有多达 $0.99n$ 个三角形，这个下界仍然成立。该定理在边的数量范围和三角形数量方面扩展了之前的结果，并且证明技术更简单。
• 定理 2 ：对于具有 $m$ 条边和 $T_3$ 个三角形的输入图，Triangles(O(1)) 的空间复杂度为 $\Omega(m / \max{T_3, 1})$。
• Dist(c) 问题 ：给定两个图族 $G_1$（无三角形图）和 $G_2$（至少有 $T$ 个三角形的图），以及输入图 $G \in G_1 \cup G_2$，使用最多 $c$ 次遍历输入，以至少 $2/3$ 的概率判断 $G \in G_1$ 还是 $G \in G_2$。对于 Triangles(c) 推导的下界同样适用于 Dist(c)。