32、数学物理方程的求解方法与应用

数学物理方程的求解方法与应用

1. 路径分数积分公式相关研究

在数学研究中，学者建立了与扩展广义贝塞尔 - 梅特兰函数相关的两个路径分数积分公式。这些结果是已知结果的扩展形式，在相关领域有着重要的理论意义。

2. 亥姆霍兹 - 杜芬振荡器的解析近似方法

2.1 研究背景

非线性振荡器的研究在过去十年受到了广泛关注。然而，求解非线性问题无论是数值求解还是解析求解都非常困难。本文旨在为保守的亥姆霍兹 - 杜芬振荡器开发一种新的求解方法。该振荡器的方程为：
(\ddot{u} + u + (1 - \sigma)u^2 + \sigma u^3 = 0)
给定初始条件：
(x(0) = a)，(\dot{x}(0) = 0)
其中(\sigma \in R)。当(\sigma = 1)时，方程退化为经典的杜芬振荡器；当(\sigma = 0)时，退化为具有单阱势的亥姆霍兹振荡器。由于该方程没有精确解，研究人员采用了许多近似技术来获取数值解。

2.2 方程分析

由于非对称非线性振荡器在正负方向上的行为不同，方程可分为两部分进行研究：
当(u \geq 0)时，(\ddot{u} + u + (1 - \sigma)u^2\mathrm{sgn}(u) + \sigma u^3 = 0)
当(u \leq 0)时，(\ddot{u} + u - (1 - \sigma)u^2\mathrm{sgn}(u) + \sigma u^3 = 0)
其中(\mathrm{sgn}(x) = \begin{cases}1, & x > 0 \ 0