21、带截止日期的联合补货问题近似算法解析

带截止日期的联合补货问题近似算法解析

1. 算法状态转移与“计数游戏”分析

算法通过从概率分布 (p) 中抽取更多随机样本 (s_{f_j + 1}, s_{f_j + 2}, \cdots, s_i) 来达到下一个状态 (S_{j + 1})，直到第一个满足对应全局截止值 (g_i) 超过 (\ell’) 的索引 (i) 停止。下一个局部截止值 (\ell_{j + 1}) 是 (g_{i - 1})，索引 (i) 即为 (f_{j + 1})，下一个状态 (S_{j + 1}) 为 ((s_1, s_2, \cdots, s_i))。

这一步骤实际上是在进行“计数游戏”，阈值 (z = \ell’ - g_{f_j})，浪费 (w) 等于差距 (\ell’ - \ell_{j + 1})。根据定义，(w) 的期望 (W(p, z) \leq 1 - Z(p))，且 (\omega(\ell_{j + 1}) - \omega(\ell_j) \geq 1 - w)，(1 - w) 的期望至少为 (Z(p))。

不过，对于最后一步 (J)，上述分析可能不正确，因为可能在 (\ell’) 之后没有全局截止值。此时，可修改算法，在选择 (g = (g_1, g_2, \cdots, g_I)) 时，让 (I = i) 满足 (g_i \geq \hat{U}) 而非 (g_i \geq \hat{U} - 1)。这样，最后一个全局截止值至少为 (\hat{U})，(\ell’ < \hat{U})，保证了 (\ell’) 之后总有全局截止值，从而使之前的分析对修改后的算法成立，且其预期局部订单成本有界。

2. 上界分析

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