16、高效时间量子行走解决 3 - 相异问题

高效时间量子行走解决 3 - 相异问题

1. 引言

元素相异问题是一个基础的计算问题。给定一个包含 $n$ 个整数的序列 $\chi = \chi_1, \ldots, \chi_n$，任务是判断这些元素是否两两不同。该问题与密码分析中的碰撞问题密切相关，碰撞问题是指对于一个 2 - 1 函数 $f: [n] \to [n]$，找到 $a \neq b$ 使得 $f(a) = f(b)$。一种经典和量子算法是对 $f$ 限制在大小为 $\sqrt{n}$ 的随机子集上运行元素相异问题算法。

在量子环境下，元素相异问题备受关注。第一个非平凡算法的时间复杂度为 $\tilde{O}(n^{3/4})$，而最优的 $\tilde{O}(n^{2/3})$ 算法由 Ambainis 提出，他引入了基于量子行走的方法，该方法已成为量子查询算法的主要工具。此算法的最优性源于碰撞问题的查询下界。

在查询模型中，通过一个神谕来访问输入 $\chi$，对查询 $i \in [n]$ 的回答是 $\chi_i$。该模型是经典决策树复杂度的量子模拟，唯一衡量的资源是对输入的查询次数。量子查询复杂度是研究量子计算能力的成功模型，有界误差量子查询复杂度可以通过半定规划（即一般对手界）精确刻画。然而，设计量子查询算法时，找到半定规划的解通常很困难，因为其最小化形式有指数级数量的约束。

Belovs 最近引入了学习图模型，可看作是具有额外结构的一般对手界的最小化形式，这使得学习图更易于分析。学习图模型已用于改进许多图问题以及 $k$ - 相异问题的查询复杂度。但学习图的一个缺点是其给出的上界不能直接转化为高效的时间复杂度算法。

在 $k$ - 相异问题中，任务是判断输入