8、双枢轴快速排序与子集和问题的时空优化研究

双枢轴快速排序与子集和问题的时空优化研究

在算法领域，排序和子集和问题一直是研究的热点。本文将深入探讨双枢轴快速排序算法的最优分区方法，以及子集和问题在最坏情况下的时空权衡改进算法。

双枢轴快速排序算法分析

双枢轴快速排序算法在排序领域有着重要的地位。研究中涉及到两种策略：策略 O 和策略 L。定理表明，在所有可能输入的平均情况下，这两种策略的差异较小。

设 ACTO 和 ACTL 分别是使用策略 O 和策略 L 对 n 个元素进行分类的平均比较次数（ACT），则有 ACTL = ACTO + O(log n)。当在双枢轴快速排序算法中使用策略 L 时，平均比较次数 E(CL n ) = 1.8n ln n + O(n)。

证明该定理的关键在于：假设策略 O 按 an−1, …, a2 的顺序检查元素，而策略 L 按 a2, …, an−1 的顺序检查元素。如果两种策略将元素 ai 与不同的枢轴进行比较，那么根据 i 的奇偶性，在 {a2, …, ai−1} 或 {a2, …, ai} 中，小元素和大元素的数量恰好相等。经过一番复杂的计算可知，ACTL - ACTO 为 O(log n)，在双枢轴快速排序算法中，这一差值总计为 O(n)。因此，使用策略 L 的双枢轴快速排序算法的平均成本最多比使用（不切实际的）策略 O 的算法大 O(n)。

为了验证这些理论结果，研究人员使用 C++ 实现了相关算法。实验在特定的硬件和软件环境下进行，源代码使用 gcc 编译器并开启 -O2 优化标志。在实验中，还将随机采样纳入了分区步骤（策略 D），具体操作如下：
1. 首先比较前 n′ = max(n/100, 7) 个元素与 p 的大小。 <