3、希尔弗分数阶Opial不等式集合

希尔弗分数阶Opial不等式集合

1. 引言

在数学分析领域，Opial不等式是一类重要的不等式，它在微分方程、积分方程等诸多方面有着广泛的应用。本文将详细探讨一系列与希尔弗分数阶导数相关的Opial型不等式，涵盖了涉及单个函数、两个函数以及多个函数的不同情形。

2. 单侧分数阶Opial型不等式

2.1 涉及单个函数的结果

2.1.1 左侧不等式

• 定理7 ：在特定条件下（(0 ≤β < 1) ），对于函数 (f)，有不等式 (\int_{a}^{x} \vert HD_{\gamma,\beta}^{a +} f (w) \vert \vert HD_{\nu,\beta}^{a +} f (w) \vert dw \leq \frac{(x - a)^{(\nu - \gamma + 1)}}{\Gamma(\nu - \gamma + 2)} \left\lVert HD_{\nu,\beta}^{a +} f \right\rVert_{\infty}^2)，其中 (x \in [a, b])。证明方法与相关文献中的命题类似。
• 定理9 ：当 (HD_{\nu,\beta}^{a +} f (w) \not\equiv 0) 且在 ([a, b]) 上符号固定，同时 (0 < p < 1) 且 (\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1) 时，有 (\int_{a}^{x} \vert HD_{\gamma,\beta}^{a +} f (w) \vert \vert HD_