4、最小化最大（加权）流时间问题的算法研究

最小化最大（加权）流时间问题的算法研究

1. 问题背景与关联

最小化最大（加权）流时间问题与截止日期调度有着有趣的联系。在截止日期调度中，每个作业 $j$ 除了有处理时间和释放时间外，还有一个关联的截止日期 $d_j$，目标是找到一个能满足所有截止日期的调度方案。

对于单台机器，最早截止日期优先（EDF）算法是最优的。因为作业 $j$ 在时间 $r_j$ 释放，应在时间 $r_j + opt$ 完成（$opt$ 是最大流时间的最优值），所以 $r_j + opt$ 可视为作业 $j$ 的截止日期，EDF 会按作业释放时间顺序调度，且无需知道 $opt$ 的值。

对于并行机器，已知即使存在能满足所有截止日期的调度方案，也没有在线算法能计算出这样的调度。不过，Phillips 等人表明，如果在线算法的机器速度是离线算法的两倍，EDF 可以满足所有截止日期，Anand 等人将此界限改进为 $\frac{e}{e - 1}$。研究结果还表明，对于相关机器，恒定的加速比足以确保满足所有截止日期；而对于子集并行设置，不存在与机器数量无关的恒定加速比能确保满足截止日期。

2. 相关机器上的最大加权流时间问题

在相关机器设置中，每个作业 $j$ 有权重 $w_j$、释放日期 $r_j$ 和处理需求 $p_j$，有 $m$ 台速度不同的机器。为方便计算，使用机器的慢度 $s_i$（速度的倒数），假设 $s_1 \leq \cdots \leq s_m$。对于实例 $I$，用 $opt(I)$ 表示其最优离线解的值，假设在线算法有 $(1 + 4\varepsilon)$ 的加速比。若作业 $j$ 在机器 $i$ 上的处理时间 $p_js_i$ 至多为 $