拉普拉斯方程与数值求解可视化

1、(a) 解析求解拉普拉斯边值问题。已知方程为 uxx + uyy = 0，边界条件为 u(x, 0) = sin 3x，u(x, 1) = sin x，u(0, y) = u(π, y) = 0。(b) 在 MATLAB 中，对 0 ≤ x ≤ π，0 ≤ y ≤ 1 的区域创建 u(x, y) 的曲面图，以可视化 (a) 中得到的解。

对于(a)，可使用分离变量法求解拉普拉斯方程。设 $ u(x,y) = X(x)Y(y) $，代入方程 $ u_{xx} + u_{yy} = 0 $ 可得
$$ X’‘(x)Y(y) + X(x)Y’‘(y) = 0 $$
进一步变形为
$$ \frac{X’‘(x)}{X(x)} = -\frac{Y’‘(y)}{Y(y)} = -\lambda $$

由边界条件 $ u(0, y) = u(\pi, y) = 0 $ 可确定 $ X(x) $ 的解，再结合 $ u(x, 0) = \sin 3x $ 和 $ u(x, 1) = \sin x $ 确定 $ Y(y) $ 的解，从而得到 $ u(x,y) $ 的表达式。

对于(b)，在 MATLAB 中可使用 meshgrid 函数生成网格点，根据(a)得到的 $ u(x,y) $ 表达式计算各点的值，然后使用 surf 函数绘制曲面图。具体代码如下：

x = linspace(0, pi, 100);
y = linspace(0, 1, 100);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
U = ...; % 根据(a)的结果填写 u(x,y) 的表达式
surf(X, Y, U);
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('u(x,y)');

2、使用RK - 1、RK - 2和RK - 4方法在0 < x ≤1上对以下常微分方程初值问题进行近似求解，并与精确解进行比较。a) y′ = 4x + 2，y(0) = 2；b) y′ + y = x，y(0) = 3；c) y′ = xy²，y(0) = 1。修改MATLAB代码（此处假设已存在名为Chapter 6 ODEs by RK methods.m的代码），使用n = 2、5、10、100进行离散化来求解每个问题，进行误差分析，并总结所使用数值方法的准确性。

要解决此问题，可按以下步骤操作：

1. 对给定的常微分方程（ODE）初值问题，使用RK-1（欧拉法）、RK-2（改进欧拉法）和RK-4（四阶龙格-库塔法）方法在区间 $ 0 < x \leq 1 $ 上进行数值求解。

2. 求出每个问题的精确解，用于与数值解比较。
   - 对于 a)，对 $ y’ = 4x + 2 $ 积分，结合 $ y(0) = 2 $ 可得精确解；
   - 对于 b)，将 $ y’ + y = x $ 转化为标准形式，用一阶线性 ODE 求解公式结合 $ y(0) = 3 $ 求精确解；
   - 对于 c)，通过分离变量法结合 $ y(0) = 1 $ 求精确解。

3. 修改 MATLA