1、微分方程数值求解与 MATLAB 应用

微分方程数值求解与 MATLAB 应用

1. 适用人群与目标

以下四类人群能从相关内容中受益：
- 偏微分方程入门课程学生 ：可将部分练习作为学期项目，通过学习能对课程中的理论内容进行模拟。
- 研究生 ：可作为偏微分方程科学计算入门课程的独立教材，具备常微分方程、偏微分方程和基础数值分析知识后，能在一学期内学习大部分内容并完成诸多练习。
- 理论偏微分方程研究人员 ：可作为指导研究学生的入门指南，不熟悉 MATLAB 的人员也能参考其内容快速开发应用。
- 微分方程课程教师 ：可将许多示例轻松实现并展示给学生，若课程有数值计算部分，可布置合适难度的练习作为学生项目。

科学家和工程师有必要掌握求解偏微分方程的数值算法。内容强调的边界条件、特征函数和一般区域，对其高级应用有帮助。对于数学家而言，能将微积分、微分方程和线性代数的对象直观可视化。即使编程或 MATLAB 基础薄弱，通过完成练习，也能创建模拟偏微分方程经典问题的程序，同时理解基础数学原理。

2. 微分方程概述

2.1 常微分方程（ODE）

主要关注入门课程中最基础的方程，提供算法来近似求解一阶和二阶线性、非线性方程及方程组的初值和边值问题。作业练习涵盖变量分离、积分因子、常系数二阶理论等标准技巧。还讨论了狄利克雷、诺伊曼和周期边界条件的施加，以及特征值问题和特征函数展开。

2.2 偏微分方程（PDE）

着重于拉普拉斯算子的特征函数、拉普拉斯方