16、不确定多智能体系统的分布式自适应姿态同步控制

不确定多智能体系统的分布式自适应姿态同步控制

在多航天器的姿态同步控制中，如何实现高效、稳定的同步是一个关键问题。本文将探讨在不同情况下的分布式自适应姿态同步控制方法，包括有角速度测量和无角速度测量的情况，并通过实验验证这些方法的有效性。

1. 有角速度测量时的姿态同步分析

在有角速度测量的情况下，我们可以通过一系列的推导得出所有闭环信号是一致有界的。具体步骤如下：
- 从函数 (V) 的定义和方程 (11.25) 可以证明 (e_i) 和 (\hat{\theta}_i) 对于航天器 (i) 是有界的。
- 由于 (e_i = s_i - z_i)，所以 (s_i) 也是有界的。
- 又因为 (s_i = \sigma_i + \dot{\sigma}_i)，所以 (\sigma_i) 和 (\dot{\sigma}_i) 有界，进而回归矩阵 (Y(\sigma_i, \dot{\sigma}_i, \sigma_i - z_i, \dot{\sigma}_i - \dot{z}_i)) 有界。
- 从方程 (11.21) 和 (11.22) 可知，每个航天器的控制律是有界的。

通过上述分析，我们可以得出所有闭环信号是一致有界的结论。

接下来分析最终的同步姿态。根据引理 11.1，我们有 (\lim_{t \to \infty} z_i(t) = \sum_{i = 1}^{N} \xi_i \sigma_i(0))。由拉萨尔 - 吉泽定理，从方程 (11.25) 可得 (\lim_{t \to \infty} e_i(t) = 0_3)，这意味着 (s_i) 可以渐近跟踪参考信号 (z_i)。因此，(\lim_{t \to \infty} s_i(t) = \lim_{t \to \infty} z_i(t) = \sum_{i = 1}^{N} \xi_i \sigma_i(0))。

由于滑模变量 (s_i = \sigma_i + \dot{\sigma} i) 可以看作一个输入为 (s_i) 的 ISS 线性系统 (\dot{\sigma}_i = -\sigma_i + s_i)，并且常数向量 (s_i) 会导致常数向量 (\sigma_i)，所以最终的同步姿态 (\sigma_i) 可以表示为 (\lim {t \to \infty} \sigma_i(t) = \sum_{i = 1}^{N} \xi_i \sigma_i(0))。此外，从方程 (11.1) 可知 (\lim_{t \to \infty} \omega_i(t) = 0_3)。

2. 无角速度测量时的控制方案设计

在无角速度测量的情况下，使用角速度会增加实现成本，因此我们设计了一种分布式自适应输出反馈同步算法。

2.1 分布式参考系统的修改

为了生成适合后续控制律的参考信号，我们将每个航天器 (i) 中的参考系统修改为如下形式：
- (\dot{z} {i,1}(t) = -c {i,1}[z_{i,1}(t) - z_{i,2}(t)])
- (\dot{z} {i,2}(t) = -c {i,2}[z_{i,2}(t) - z_{i,3}(t)])
- (\dot{z} {i,3}(t) = -\sum {j = 1}^{N} a_{ij}[\bar{z} {i,3}(t) - \bar{z} {j,3}(t)])
- (y_{i,r}(t) = z_{i,1}(t))

其中，(z_{i,q}(t) \in \mathbb{R}^3)，(q = 1, 2, 3) 和 (y_{i,r}(t) \in \mathbb{R}^3)，(i \in V) 分别是参考系统的状态和输出。(c_{i,1}) 和 (c_{i,2}) 是正常数，(\bar{z} {i,3}(t) = z {i,3}(t_{i}^{k_i})) 对于 (t \in [t_{i}^{k_i}, t_{i}^{k_{i + 1}}))，(\bar{z} {j,3}(t) = z {j,3}(t_{j}^{k_j})) 对于 (t \in [t_{j}^{k_j}, t_{j}^{k_{j + 1}}))。参考系统的初始条件选择为 (z_{i,1}(0) = z_{i,2}(0) = z_{i,3}(0) = \sigma_i(0)) 以实现加权平均姿态同步。

这种修改后的参考系统是一个三阶级联系统，可以生成其前三阶导数存在且有界的参考信号，这是后续分布式自适应输出反馈控制律实现的前提条件。

我们定义测量误差为 (\Delta_{i,3}(t) = z_{i,3}(t) - \bar{z} {i,3}(t))，航天器 (i) 的触发条件设计为：
(t {i}^{k_{i + 1}} = \inf {t > t_{i}^{k_i} | |\Delta_{i,3}(t)|^2 > \Pi_{i,3} })
其中 (\Pi_{i,3} = \frac{\pi_i}{24\Delta_i} \sum_{j = 1}^{N} a_{ij} |\bar{z} {i,3}(t) - \bar{z} {j,3}(t)|^2 + \frac{1}{3\Delta_i} \psi_i(t))，(\psi_i(t) = \varsigma_i e^{-\iota_i t})，(\Delta_i) 是入度矩阵 (\Delta) 的对角元素，(\pi_i)，(\varsigma_i) 和 (\iota_i) 是正常数，且 (0 < \pi_i < 1)。

根据引理 11.2，在设计的触发条件下，所有参考系统的状态是全局一致有界的，输出 (y_{i,r}) 可以同步到一个共同的常向量，即 (\lim_{t \to \infty} y_{i,r}(t) = \sum_{i = 1}^{N} \xi_i \sigma_i(0))，同时可以排除 Zeno 行为。

下面是参考系统状态跟踪的分析流程：

graph TD;
    A[开始] --> B[证明 \(z_{i,3}\) 和 \(\dot{z}_{i,3}\) 有界];
    B --> C[证明 \(z_{i,2}\) 可以渐近跟踪 \(z_{i,3}\)];
    C --> D[证明 \(z_{i,1}\) 可以渐近跟踪 \(z_{i,2}\)];
    D --> E[得出 \(y_{i,r}\) 同步到共同常向量];
    E --> F[结束];

具体证明过程如下：
- 首先，通过引理 11.1 可知 (z_{i,3}) 和 (\dot{z} {i,3}) 是全局一致有界的，(\lim {t \to \infty} z_{i,3}(t) = \sum_{i = 1}^{N} \xi_i z_{i,3}(0) = \sum_{i = 1}^{N} \xi_i \sigma_i(0))，并且可以排除 Zeno 行为。
- 然后，定义跟踪误差 (\delta_{i,2} = z_{i,2} - z_{i,3})，选择 Lyapunov 函数 (V_{\delta_2} = \frac{1}{2} \delta_{i,2}^T \delta_{i,2})，其导数为：
(\dot{V} {\delta_2} = -c {i,2} \delta_{i,2}^T \delta_{i,2} - \delta_{i,2}^T \dot{z} {i,3} \leq -\frac{c {i,2}}{2} |\delta_{i,2}|^2 + \frac{N}{2c_{i,2}} \sum_{j = 1}^{N} a_{ij} |\bar{z} {i,3} - \bar{z} {j,3}|^2)
通过积分和相关分析可以证明 (\delta_{i,2}) 有界，进而 (z_{i,2}) 有界，且 (\lim_{t \to \infty} \delta_{i,2}(t) = 0_3)，即 (z_{i,2}) 可以渐近跟踪 (z_{i,3})。
- 接着，定义跟踪误差 (\delta_{i,1} = z_{i,1} - z_{i,2})，选择 Lyapunov 函数 (V_{\delta_1} = \frac{1}{2} \delta_{i,1}^T \delta_{i,1})，其导数为：
(\dot{V} {\delta_1} \leq -\frac{c {i,1}}{2} |\delta_{i,1}|^2 + \frac{1}{2c_{i,1}} |\delta_{i,2}|^2)
同样通过积分和分析可以证明 (\delta_{i,1}) 有界，进而 (z_{i,1}) 有界，且 (\lim_{t \to \infty} \delta_{i,1}(t) = 0_3)，即 (z_{i,1}) 可以渐近跟踪 (z_{i,2})。
- 最后，由 (y_{i,r}(t) = z_{i,1}(t)) 可得 (\lim_{t \to \infty} y_{i,r}(t) = \sum_{i = 1}^{N} \xi_i \sigma_i(0))。

2.2 分布式自适应输出反馈控制律设计

由于航天器的角速度不可测量，我们采用基于自适应滤波器的输出反馈跟踪控制方案。定义跟踪误差 (e_i = \sigma_i - y_{i,r})，引入伪速度滤波器：
- (\dot{q} i = -(k_i + 1)q_i + (k_i^2 + 1)e_i)
- (e {if} = -k_i e_i + q_i)

其中 (q_i \in \mathbb{R}^3) 和 (e_{if} \in \mathbb{R}^3) 分别是伪速度滤波器的状态和输出，(k_i = 1 + k_{is})，(k_{is}) 是待设计的正常数，(q_i) 的初始条件设置为 (q_i(0) = k_i e_i(0))。

通过一系列的推导，我们可以得到 (e_{if}) 和 (\eta_i) 的动态方程：
- (\dot{e} {if} = -k_i \eta_i - e {if} + e_i)
- (\dot{\eta} i = \dot{e}_i + \ddot{\sigma}_i - \ddot{y} {i,r} - k_i \eta_i - e_{if} + e_i)

基于性质 11.3，我们定义期望的线性参数化方程为 (Y_d(t) \theta_i = H_i(y_{i,r}) \ddot{y} {i,r} + C_i(y {i,r}, \dot{y} {i,r}) \dot{y} {i,r})。经过一系列的变换，我们可以得到：
(H_i(\sigma_i) \dot{\eta} i = -C_i(\sigma_i, \dot{\sigma}_i) \eta_i - k {is} H_i(\sigma_i) \eta_i - Y_d(t) \theta_i + \chi_i + F^{-T}(\sigma_i) \tau_i)
其中 (\chi_i = C_i(\sigma_i, \dot{\sigma} i)(e_i + e {if}) - C_i(\sigma_i, \dot{\sigma} i) \dot{y} {i,r} - H_i(\sigma_i) \ddot{y} {i,r} - 2H_i(\sigma_i) e {if} + H_i(y_{i,r}) \ddot{y} {i,r} + C_i(y {i,r}, \dot{y} {i,r}) \dot{y} {i,r})。

(\chi_i) 的上界可以表示为 (|\chi_i| \leq \rho_i(\bar{y} {i1}, \bar{y} {i2}, \bar{y} {i3}, |\zeta_i|) |\zeta_i|)，其中 (\zeta_i = [e_i^T, e {if}^T, \eta_i^T]^T)，(\rho_i(\cdot)) 是一个正的非递减隐函数。

分布式自适应输出反馈控制律 (\tau_i) 和参数更新律 (\hat{\theta} i) 设计如下：
- (\tau_i = F^T(\sigma_i) \bar{\tau}_i)
- (\bar{\tau}_i = Y_d(t) \hat{\theta}_i + k_i e {if} - e_i)
- (\hat{\theta} i = -\Gamma_i \int {0}^{t} Y_d(s)^T [e_i(s) + e_{if}(s)] ds - \Gamma_i Y_d(t)^T e_i + \Gamma_i \int_{0}^{t} \dot{Y}_d(s)^T e_i(s) ds)

为了便于后续的稳定性分析，参数更新律的等价形式为 (\dot{\hat{\theta}}_i = -\Gamma_i Y_d(t)^T \eta_i)。需要注意的是，由于辅助误差变量 (\eta_i) 包含角速度，参数更新律 (11.46) 是不可实现的。

2.3 稳定性和同步分析

定理 11.2 表明，如果选择的设计参数 (k_{is}) 满足：
- (k_{is} = \frac{1}{J_{i1}} (1 + k_{in}))
- (k_{in} \geq \frac{1}{2} \rho_i^2 \left(\bar{y} {i1}, \bar{y} {i2}, \bar{y} {i3}, \sqrt{\frac{\lambda {i2}(\sigma_i(0))}{\lambda_{i1}}} |\upsilon_i(0)| \right))

其中 (\upsilon_i = [e_i^T, e_{if}^T, \eta_i^T, \tilde{\theta} i^T]^T)，(\lambda {i1} = \frac{1}{2} \min{1, J_{i1}, \lambda_{\min}(\Gamma_i^{-1})})，(\lambda_{i2}(\sigma_i) = \frac{1}{2} \max{1, J_{i2}(\sigma_i), \lambda_{\max}(\Gamma_i^{-1})})，那么所有闭环信号是一致有界的，所有航天器可以同步到一个共同的姿态，且角速度为零，即 (\lim_{t \to \infty} \sigma_i(t) = \sum_{i = 1}^{N} \xi_i \sigma_i(0)) 和 (\lim_{t \to \infty} \omega_i(t) = 0_3)，同时可以排除 Zeno 行为。

证明过程如下：
- 首先，根据引理 11.2 可知 (z_{i,1})，(z_{i,2})，(z_{i,3}) 和 (y_{i,r}) 是有界信号，排除了 Zeno 行为，且 (\lim_{t \to \infty} y_{i,r}(t) = \sum_{i = 1}^{N} \xi_i \sigma_i(0))。
- 然后，定义 Lyapunov 函数 (V_t = \frac{1}{2} e_i^T e_i + \frac{1}{2} e_{if}^T e_{if} + \frac{1}{2} \eta_i^T H_i(\sigma_i) \eta_i + \frac{1}{2} \tilde{\theta} i^T \Gamma_i^{-1} \tilde{\theta}_i)，其具有性质 (\lambda {i1} |\zeta_i|^2 \leq \lambda_{i1} |\upsilon_i|^2 \leq V_t \leq \lambda_{i2}(\sigma_i) |\upsilon_i|^2)。
- 接着，计算 (V_t) 的导数：
(\dot{V} t = -e_i^T e_i - e {if}^T e_{if} - k_{is} \eta_i^T H_i(\sigma_i) \eta_i + \eta_i^T \chi_i \leq -|e_i|^2 - |e_{if}|^2 - k_{is} J_{i1} |\eta_i|^2 + |\eta_i| |\chi_i|)
通过代入相关不等式和条件，我们可以得到：
(\dot{V} t \leq -\left(1 - \frac{\rho_i^2(\bar{y} {i1}, \bar{y} {i2}, \bar{y} {i3}, \sqrt{V_t / \lambda_{i1}})}{4k_{in}} \right) |\zeta_i|^2)
当 (k_{in} > \frac{1}{2} \rho_i^2(\bar{y} {i1}, \bar{y} {i2}, \bar{y} {i3}, \sqrt{V_t / \lambda {i1}})) 时，(\dot{V} t \leq -\frac{1}{2} |\zeta_i|^2)，这意味着 (V_t(t) \leq V_t(0))。
- 最后，根据 (V_t) 的定义和不等式 (11.57) 可以得出 (e_i)，(e {if})，(\eta_i) 和 (\hat{\theta}_i) 是一致有界的，进而可以证明所有闭环信号是一致有界的，且航天器可以同步到共同姿态，角速度为零。

3. 实验结果

为了验证上述方法的有效性，我们考虑一组 4 个航天器进行实验。这些航天器的惯性矩阵如下表所示：
| 航天器编号 | 惯性矩阵 (J) |
| ---- | ---- |
| (J_1) | ([1, 0.1, 0.1; 0.1, 0.1, 0.1; 0.1, 0.1, 0.9]) (kg \cdot m^2) |
| (J_2) | ([1.5, 0.2, 0.3; 0.2, 0.9, 0.4; 0.3, 0.4, 2.0]) (kg \cdot m^2) |
| (J_3) | ([0.8, 0.1, 0.2; 0.1, 0.7, 0.3; 0.2, 0.3, 1.1]) (kg \cdot m^2) |
| (J_4) | ([1.2, 0.3, 0.7; 0.3, 0.9, 0.2; 0.7, 0.2, 1.4]) (kg \cdot m^2) |

在仿真中，初始条件设置如下：
- (\sigma_1(0) = [0.5, 0.6, 0.7]^T)
- (\sigma_2(0) = [0.4, 0.3, 0.2]^T)
- (\sigma_3(0) = [0.3, 0.4, 0.5]^T)
- (\sigma_4(0) = [0.6, 0.7, 0.8]^T)
- (\omega_i(0) = [0, 0, 0]^T)
- (z_i(0) = z_{i,1}(0) = z_{i,2}(0) = z_{i,3}(0) = \sigma_i(0))
- (\hat{\theta}_i(0) = [0, 0, 0, 0, 0, 0]^T)，(i = 1, \cdots, 4)

3.1 有角速度测量时的自适应姿态同步实验

采用参考系统 (11.5)、触发条件 (11.6)、分布式自适应控制律 (11.21)、(11.22) 和参数更新律 (11.23)。设计参数选择为 (\pi_i = 0.5)，(\varsigma_i = 0.01)，(\iota_i = 0.6)，(K_i = 5I_3)，(\Gamma_i = I_6)，(i = 1, \cdots, 4)，其中 (I_3) 和 (I_6) 分别是 (3 \times 3) 和 (6 \times 6) 的单位矩阵。

实验结果表明，所有航天器可以同步到一个共同的姿态，且角速度为零。从姿态、角速度和控制扭矩的图中可以观察到所有观测信号是有界的，并且每个航天器都不存在 Zeno 行为。

综上所述，通过理论分析和实验验证，我们提出的分布式自适应姿态同步控制方法在有角速度测量和无角速度测量的情况下都能有效地实现多航天器的姿态同步，并且保证了系统的稳定性和有界性。

不确定多智能体系统的分布式自适应姿态同步控制

3.2 实验结果分析

为了更直观地展示实验结果，我们将各项指标的变化情况进行详细分析。以下是各项指标的具体表现：
| 指标 | 表现 |
| ---- | ---- |
| 姿态同步 | 从姿态图中可以清晰看到，随着时间推移，4 个航天器的姿态逐渐趋于一致，最终实现了同步。这表明在有角速度测量的情况下，所采用的参考系统、触发条件、分布式自适应控制律和参数更新律能够有效地引导航天器达到共同姿态。例如，在 (t = 25s) 时，各航天器姿态分量的差异已经非常小，接近同步状态。 |
| 角速度 | 角速度图显示，所有航天器的角速度最终都趋近于零。这符合理论分析的结果，说明系统在达到同步姿态后，能够保持稳定，没有多余的旋转运动。在整个实验过程中，角速度的波动范围逐渐减小，最终收敛到零附近。 |
| 控制扭矩 | 控制扭矩图反映了系统为实现姿态同步所施加的控制作用。可以看到，控制扭矩在初始阶段较大，随着航天器姿态逐渐接近同步，控制扭矩逐渐减小并趋于稳定。这表明控制律能够根据系统状态的变化，合理调整控制扭矩的大小，以实现高效的姿态同步。 |
| Zeno 行为 | 通过触发时间图可以确定，每个航天器都不存在 Zeno 行为。这意味着系统的触发机制设计合理，避免了过于频繁的触发，保证了系统的稳定性和可靠性。 |

以下是实验结果分析的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[分析姿态同步情况];
    B --> C[分析角速度变化];
    C --> D[分析控制扭矩大小];
    D --> E[检查是否存在 Zeno 行为];
    E --> F[得出实验结论];
    F --> G[结束];

4. 方法总结与优势

通过上述的理论分析和实验验证，我们所提出的分布式自适应姿态同步控制方法具有以下显著优势：
- 适应性强 ：无论是在有角速度测量还是无角速度测量的情况下，该方法都能有效地实现多航天器的姿态同步。在无角速度测量时，通过设计分布式自适应输出反馈同步算法，避免了使用角速度传感器带来的成本增加问题，同时保证了系统的同步性能。
- 稳定性高 ：通过严格的理论证明和实验验证，确保了所有闭环信号的一致有界性，以及航天器能够同步到一个共同的姿态，且角速度为零。在设计参数满足一定条件时，系统能够排除 Zeno 行为，保证了系统的稳定运行。
- 可操作性好 ：控制律和参数更新律的设计具有明确的表达式，虽然部分参数的确定可能需要一些计算和调整，但整体上具有较强的可操作性。例如，在实验中，我们可以通过选择合适的设计参数，如 (\pi_i)、(\varsigma_i)、(\iota_i)、(K_i) 和 (\Gamma_i) 等，来实现系统的优化控制。

5. 实际应用展望

该分布式自适应姿态同步控制方法在实际航天任务中具有广泛的应用前景，以下是一些可能的应用场景：
- 卫星编队飞行 ：在卫星编队飞行任务中，多个卫星需要保持特定的相对位置和姿态，以实现协同工作。本方法可以用于实现卫星之间的姿态同步，确保编队的稳定性和任务的顺利执行。具体操作步骤如下：
1. 根据卫星的任务要求和初始状态，确定参考系统的初始条件。
2. 设计合适的控制律和参数更新律，根据卫星的通信拓扑结构，选择合适的触发条件。
3. 在卫星运行过程中，实时监测卫星的姿态和角速度信息，根据系统状态调整控制参数。
4. 定期对系统进行评估和优化，确保卫星编队始终保持良好的姿态同步状态。
- 深空探测 ：在深空探测任务中，多个探测器可能需要协同工作，共同完成对目标天体的探测任务。通过实现探测器之间的姿态同步，可以提高探测数据的准确性和可靠性。具体操作与卫星编队飞行类似，但需要考虑深空环境的特殊性，如信号传输延迟、辐射干扰等因素。
- 空间站建设 ：在空间站建设过程中，多个模块需要进行对接和组装，姿态同步对于确保对接的顺利进行至关重要。本方法可以用于控制各个模块的姿态，使其准确地对接在一起，提高空间站建设的效率和安全性。

综上所述，我们提出的分布式自适应姿态同步控制方法在理论上具有严谨性，在实验中具有有效性，在实际应用中具有广阔的前景。通过不断的研究和优化，该方法有望为航天领域的多航天器协同控制提供更加可靠和高效的解决方案。