不变子空间是指在线性变换作用下保持不变的子空间。整空间、零子空间、域上的线性变换的定义域和核以及特征值对应的特征子空间都是不变子空间的例子。此外，子空间的交集和和集也是不变子空间。证明涉及线性变换的性质，如封闭性、特征子空间的性质等。
不变子空间
对于任意一个数域为 PP 的线性空间 对于任意一个 VV 上的线性变换
和任意一个 VV 上的子空间 若 WW 满足：
则称 WW 是 的一个不变子空间，简称 ff 子空间。
举例
- 对于任意一个 上的线性变换 f,f, 整个空间 VV 和零子空间 都是 ff 子空间。
- 对于任意一个 上的线性变换 f,f, domfdomf 与 KerfKerf 都是 ff 子空间。
- 若线性变换 与 gg 满足 则 domgdomg 与 KergKerg 都是 ff 子空间。
证明
使得 g(α)=α′,g(α)=α′, 则 f(α′)=f(g(α))=(f∘g)(α)=(g∘f)(α)=g(f(α))f(α′)=f(g(α))=(f∘g)(α)=(g∘f)(α)=g(f(α))
因此 f(α′)∈domgf(α′)∈domg
∀α∈Kerg,g(α)=0⃗ ,∀α∈Kerg,g(α)=0→, 则
g(f(α))=(g∘f)(α)=(f∘g)(α)=f(g(α))=f(0⃗ )=0⃗ ,g(f(α))=(g∘f)(α)=(f∘g)(α)=f(g(α))=f(0→)=0→,
因此 f(α)∈Kergf(α)∈Kerg- 任何一个子空间 WW 都是数乘变换 的子空间。
证明
∀α∈W,k(α)=kα∈W,k∈P∀α∈W,k(α)=kα∈W,k∈P - 对于任意一个 VV 上的线性变换
ff 的属于特征值 的特征子空间 Vλ0Vλ0 也是 ff 子空间。
证明
- ff 子空间的交与和也是 子空间。
证明
设集合 {Wa:a∈A}{Wa:a∈A} 的所有元素都是 ff 子空间。则
⇒∀a∈A,f(α)∈Wa⇒f(α)∈⋂a∈AWa⇒∀a∈A,f(α)∈Wa⇒f(α)∈⋂a∈AWa
α∈∑i=1nWi⇒∃{αi∈Wi:i∈N,1≤i≤n},α∈∑i=1nWi⇒∃{αi∈Wi:i∈N,1≤i≤n}, 使得 ∑i=1nαi=α,∑i=1nαi=α,
则 f(αi)∈Wi,∀i∈N,1≤i≤nf(αi)∈Wi,∀i∈N,1≤i≤n
因此 f(α)=f(∑i=1nαi)=∑i=1nf(αi)∈∑i=1nWif(α)=f(∑i=1nαi)=∑i=1nf(αi)∈∑i=1nWi 性质
对于任意一个线性空间 V,V, 对于任意一个 VV 上的线性变换
和任意一个 VV 上的子空间 设 WW 的一组基是 则
WW 是 子空间的充要条件是
f(ξi)∈W,∀i∈N,1≤i≤sf(ξi)∈W,∀i∈N,1≤i≤s证明
必要性很明显，只证明充分性。
∀α∈W,∀α∈W, 存在 X∈Ps,X∈Ps, 使得 α=ξX,α=ξX, 因此
f(α)=f(ξX)=f(ξ)X=∑i=1sxif(ξi)∈Wf(α)=f(ξX)=f(ξ)X=∑i=1sxif(ξi)∈W
- 任何一个子空间 WW 都是数乘变换 的子空间。
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