3.1 子空间

告别同济版恐惧症:3Blue1Brown视觉化入门后,再看Strang和Axler的线性代数有什么不同? 本文探讨了如何通过3Blue1Brown的视觉化教学重构线性代数学习路径,对比了Strang和Axler的不同教学哲学,并提供了从视觉直觉到理论深度的三阶段学习体系。文章强调几何直觉先于符号计算的重要性,帮助读者克服传统教材的抽象恐惧,提升对行列式、特征向量等核心概念的理解。 阅读详情

第3章 子空间(有限),积空间,商空间

  在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法.为了避免过早涉及某些逻辑上的难点,在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间,而将一般情形的研究留待以后去作.

§3.1 子空间

  本节重点:掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念,子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法.

  讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集,按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间,以便将它作为一个独立的对象进行考察.所谓“自然的方式”应当是什么样的方式?为回答这个问题,我们还是先从度量空间做起,以便得到必要的启发.

  考虑一个度量空间和它的一个子集.欲将这个子集看作一个度量空间,必须要为它的每一对点规定距离.由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点,因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的.我们把上述想法归纳成定义:

  定义3.1.1 设(X,ρ)是一个度量空间,Y是X的一个子集.因此,Y×YX×X.显然:Y×Y→R是Y的一个度量(请自行验证).我们称Y的度量,是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间(Y,ρ)称为度量空间(X,ρ)的一个度量子空间.

  我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间,意思就是指Y是X的一个子集,并且Y的度量是由X的度量诱导出来的.我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明.例如我们经常讨论的:实数空间R中的各种区间(a,b),[a,b],(a,b]等;n+1维欧氏空间中的

  n维单位球面:

  n维单位开、闭球体:

  

以及n维单位开、闭方体 和等等,并且它们也自然被认作是拓扑空间(考虑相应的度量诱导出来的拓扑).

  定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间.则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U=V∩Y.

  证明 由于现在涉及两个度量空间,我们时时要小心可能产生的概念混淆.对于x∈X(y∈

MIT_线性代数笔记_11_矩阵空间、秩1矩阵、小世界图 MIT 公开课:Gilbert Strang《线性代数》课程笔记(汇总)Lecture 11: Matrix spaces; rank 1; small world graphs 课程 11:矩阵空间、秩1矩阵、小世界图矩阵空间 所有 n×nn \times n 维矩阵构成的线性空间称为矩阵空间,记为 Rn×n.\mathbb{R}^{n \times n}. 若记 MM 为所有 3×33 \ti 阅读详情

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath(&#39;DeepLearnToolbox&#39;));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand(&#39;state&#39;,0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W&#39;); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand(&#39;state&#39;,0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = &#39;sigm&#39;;%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, &#39;Too big error&#39;);```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand(&#39;state&#39;,0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = &#39;sigm&#39;;sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)&#39;)% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = &#39;sigm&#39;;nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, &#39;Too big error&#39;);```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x&#39;,28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x&#39;,28,28,10000))/255;train_y = double(train_y&#39;);test_y = double(test_y&#39;);%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you&#39;ll get around 1.2% errorrand(&#39;state&#39;,0)cnn.layers = { struct(&#39;type&#39;, &#39;i&#39;) %input layer struct(&#39;type&#39;, &#39;c&#39;, &#39;outputmaps&#39;, 6, &#39;kernelsize&#39;, 5) %convolution layer struct(&#39;type&#39;, &#39;s&#39;, &#39;scale&#39;, 2) %sub sampling layer struct(&#39;type&#39;, &#39;c&#39;, &#39;outputmaps&#39;, 12, &#39;kernelsize&#39;, 5) %convolution layer struct(&#39;type&#39;, &#39;s&#39;, &#39;scale&#39;, 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, &#39;Too big error&#39;);```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand(&#39;state&#39;,0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, &#39;Too big error&#39;);%% ex2 neural net with L2 weight decayrand(&#39;state&#39;,0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, &#39;Too big error&#39;);%% ex3 neural net with dropoutrand(&#39;state&#39;,0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, &#39;Too big error&#39;);%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand(&#39;state&#39;,0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = &#39;sigm&#39;; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, &#39;Too big error&#39;);%% ex5 plotting functionalityrand(&#39;state&#39;,0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = &#39;softmax&#39;; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, &#39;Too big error&#39;);%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand(&#39;state&#39;,0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = &#39;softmax&#39;; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, &#39;Too big error&#39;);```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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