线性变换（1）——不变子空间

最新推荐文章于 2024-04-25 10:40:51 发布

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#线性代数 #矩阵

本文介绍了线性代数中不变子空间的概念，给出了定义和例子，如和。讨论了子空间的性质，包括直和与交集仍然是子空间，并证明了可逆矩阵作用下不变子空间的性质。此外，还探讨了矩阵在特定基下的化简形式，以及如何关联到特征值和特征向量。

定义：W是 $V^{F}$ 的子空间， $\sigma \in L\left ( V^{F} \right )$ ，若 $\forall \alpha \in W$ ，有 $\sigma \left ( \alpha \right )\in W$ ，则称W为 $\sigma$ 的不变子空间，或称为 $\sigma -$ 子空间。

举例： $Im\sigma$ 和 $ker\sigma$

例 $\sigma \in \mathbb{R}^{3}$ ， $\sigma\left ( x_{1},x_{2},x_{3} \right )= \left ( x_{3},x_{2},x_{1} \right )$

$W=\left \{ (x_{1},x_{2},0) \mid x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \right \}$

$\alpha =(x_{1},x_{2},0)$ $\sigma(\alpha)=(0,x_{2},x_{1})\notin W$

性质：

$Im\sigma$ 和 $ker\sigma$ 一定是 $\sigma -$ 子空间

进一步地， $\tau \sigma \in L(V)$ ，

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