区间上的凸函数定义

定义

函数 $f(x)$ 在区间 $X$ 上有定义，若 $\forall x_1 x_2\in X, x_1 \ne x_2, \forall \lambda \in (0, 1),$

$$f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \le \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2)$$
则： $f(x)$ 是 $X$ 上的凸函数。
若不等号严格成立，则称 $f(x)$ 是 $X$ 上的严格凸函数。

等价定义

1. $f(x)$ 是 $X$ 上的凸函数 $\Leftrightarrow \forall x,_1 x_2, x_3 \in X, x_1 < x_2 < x_3,$

   $(x_3 - x_1) f(x_2) \le (x_3 - x_2)f(x_1) + (x_2 - x_1)f(x_3)$

   $\Leftrightarrow \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le \dfrac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1}$

   $\Leftrightarrow \dfrac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1} \le \dfrac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}$

   $\Leftrightarrow \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le \dfrac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}$
   $f(x)$ 是 $X$ 上的严格凸函数 $\Leftrightarrow$ 上述不等式的不等号严格成立。
   证明： 令 $\lambda = \dfrac{x_3 - x_2}{x_3 - x_1}$ 可得结论。