24、排队系统中的服务器休假模型分析

排队系统中的服务器休假模型分析

1. Geo/G/1 多重休假系统

在 Geo/G/1 多重休假系统中，当系统为空时，服务器会立即进入休假状态。服务器在随机时间 $V$ 后返回，若有等待的数据包则开始服务，若没有则再次进行时长为 $V$ 的休假。

1.1 嵌入马尔可夫链方法

考虑嵌入方法并使用与单休假情况相同的符号，有：
[
(X_{n + 1}, J_{n + 1}) =
\begin{cases}
X_n + A_s - 1, 1; & X_n \geq 1 \
A_v, 0; & (X_n, J_n) = (0, 1)
\end{cases}
]
其中，$A_v$ 是服务器在系统中找到至少一个数据包之前所有连续多重休假期间的到达数量。因此，$a_j^{(v)} = a_j^{(v)}(1 - a_0^{(v)})^{-1}, j = 1, 2, \cdots$。

按照与单休假情况相同的步骤，可得：
[
E[X] = ab’ + \frac{a^2b’‘}{2(1 - ab’)} + \frac{av’‘}{2v’}
]

1.2 补充变量方法

对于补充变量方法，我们跟踪系统中的数据包数量、服务器忙碌时服务完成的剩余时间以及服务器休假时休假结束的剩余时间。状态空间为：
[
\Delta = {(0, l) \cup (i, j) \cup (i, l), i \geq 1, l = 1, 2, \cdots ; j = 1, 2, \cdots }
]