8、多服务器排队系统与重试排队系统研究

多服务器排队系统与重试排队系统研究

多服务器排队系统时间相关解的推导

在多服务器排队系统中，考虑到客户反馈、顾客放弃排队（reneging）以及保留概率等因素，我们旨在推导该模型的时间相关解。这里采用概率生成函数方法。

首先，定义时间相关概率 (R_n(t)) 的概率生成函数 (R(z, t)) 为：
[R(z, t)=\sum_{n = 0}^{\infty}R_n(t)z^n]
且有 (P(z, 0) = 1) 以及 (\sum_{n = 0}^{c - 1}R_n(t)=m(t))。

通过对相关方程进行一系列操作，如将方程 (5.1) 和 (5.2) 相加，得到：
[\frac{d}{dt}m(t)=R_1(t)-c\mu q_1R_0(t)]
将方程 (5.3) 和 (5.4) 乘以 (z^n) 并对 (n) 求和后，再与上式相加，得到偏微分方程：
[\frac{\partial R(z, t)}{\partial t}+p_2(z - 1)\frac{\partial R(z, t)}{\partial z}=(c\mu q_1 - p_2(z - 1))R(z, t)-m(t)zR_1(t)]

求解该偏微分方程可得：
[R(z, t)=\exp\left[\int_{0}^{t}(c\mu q_1 - p_2(z - 1))du\right]\left[R(z, 0)+\int_{0}^{t}\exp\left -\int_{0}^{u}(c\mu q_1 - p_2(z - 1))dv\right