图像处理与矩阵计算问题解析

11、使用cv::LineIterator来计算例如300 × 300图像中不同线段上的像素数量。a. 在哪些角度下，4 - 连通和8 - 连通的线具有相同的像素数量？b. 对于除上述角度之外的线段角度，哪种连通性（4 - 连通还是8 - 连通）计算的像素更多？c. 对于给定的线段，解释在4 - 连通和8 - 连通情况下，线段的长度与沿该线迭代计数的像素数量之间的差异。哪种连通性更接近真实的线段长度？

a. 4-连通和8-连通的线具有相同像素数量的角度

在0°、90°、180°和270°这些特殊角度下，4-连通和8-连通的线具有相同的像素数量。当线段是水平（0°或180°）或垂直（90°或270°）时，4-连通和8-连通的遍历方式在像素计数上没有差异。因为在水平或垂直方向上，4-连通和8-连通的路径是完全相同的，都是依次经过相邻的像素点。

b. 除特殊角度外，4-连通和8-连通哪种计算的像素更多

对于除0°、90°、180°和270°之外的线段角度，8-连通的线通常会计算更多的像素。
4-连通只考虑上下左右四个相邻的像素点，而8-连通除了上下左右四个相邻像素点外，还考虑了四个对角相邻的像素点。在倾斜的线段上，8-连通可以通过对角相邻的像素点更“曲折”地连接，从而覆盖更多的像素点，因此像素计数会更多。

c. 线段长度与像素数量的差异及哪种连通性更接近真实长度

4-连通情况

在4-连通中，由于只考虑上下左右相邻的像素点，当线段是倾斜的时，它只能以“阶梯状”的方式连接像素点。这会导致计算的像素数量比真实的线段长度要长，因为它的路径不是沿着线段的真实方向，而是在水平和垂直方向上跳跃。
例如，对于一个倾斜45°的线段，4-连通会以类似楼梯的方式连接像素，使得像素数量明显多于真实线段长度对应的像素数量。

8-连通情况

8-连通可以通过对角相邻的像素点更接近线段的真实方向。虽然它也会有一定的“曲折”，但相比于4-连通，它的路径更平滑，更接近线段的真实形状。因此，8-连通计算的像素数量与真实线段长度的差距相对较小。

哪种连通性更接近真实长度

综合来看，8-连通更接近真实的线段长度。因为它在处理倾斜线段时，能够利用对角相邻的像素点更准确地逼近线段的真实路径，减少了因只能水平和垂直连接像素点而产生的偏差。

12、给定矩阵 $A = \begin{bmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{bmatrix}$，a. 首先手动计算矩阵 $A^T A$。求出 $A^T A$ 的特征值 $(e_1, e_2)$ 和特征向量。根据特征值计算奇异值。b. 设向量 $\vec{a}=(1,0,0)$，$\vec{b}=(0,1,0)$，计算与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都正交的向量。提示：回忆两个向量的叉积总是与叉积中的两个项都正交。c. 矩阵 $\Sigma$ 定义为（给定 $A$ 的这个特定值）：$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma_1 & 0 \ 0 & \sigma_2\end{bmatrix}$，其中 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 是前面计算得到的奇异值。使用 $\Sigma$ 的这个定义，以及前面 $V$ 和 $U$ 的结果，通过直接相乘验证 $A = U \Sigma V^T$。d. 使用 cv::SVD 对象，计算前面的矩阵 $\Sigma$、$V$ 和 $U$，并验证你手动计算的结果是否正确。你得到的结果是否与预期完全一致？如果不一致，请解释原因。

以下是具体的解题步骤：

1. a 部分 ：
   - 手动计算 $A^T A$：已知 $A = \begin{bmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{bmatrix}$，则 $A^T=\begin{bmatrix}1 & 3 \ 2 & 4\end{bmatrix}$，
   $$
   A^T A = \begin{bmatrix}1 & 3 \ 2 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\times1 + 3\times3 & 1\times2+3\times4 \ 2\times1 + 4\times3 & 2\times2+4\times4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10 & 14 \ 14 & 20\end{bmatrix}
   $$
   - 求 $A^T A$ 的特征值和特征向量：通过求解特征方程 $det(A^T A - \lambda I)=0$，即
   $$
   \begin{vmatrix}10 - \lambda & 14 \ 14 & 20 - \lambda\end{vmatrix}=(10 - \lambda)(20 - \lambda)-14\times14=\lambda^2 - 30\lambda+200 - 196=\lambda^2 - 30\lambda + 4 = 0
   $$
   根据求根公式
   $$
   \lambda=\frac{30\pm\sqrt{30^2 - 4\times4}}{2}=\frac{30\pm\sqrt{900 - 16}}{2}=\frac{30\pm\sqrt{884}}{2}=\frac{30\pm2\sqrt{221}}{2}=1