5、两类 FCFS 排队系统与有限缓冲队列单休假策略下的性能分析

两类 FCFS 排队系统与有限缓冲队列单休假策略下的性能分析

两类 FCFS 排队系统分析

在离散时间排队系统中，研究具有一个服务器和两类客户的排队系统很有意义。该系统采用全局先到先服务（FCFS）服务规则，假设各时隙的（聚合）到达相互独立，并结合了一般一阶马尔可夫类间相关模型，以及一般但与类相关的服务时间分布。

1. 稳态概率生成函数（PGF）推导

   • 已知概率生成函数（PGF）如 (P(z)) 在复 (z) 平面的闭单位圆盘 ({z : |z| ≤1}) 内有界，前提是排队系统满足稳定性条件。通过复分析中的儒歇定理可知，方程（22）的分母在闭单位圆盘内有两个零点，其中一个为 (z = 1)。
   • 由于 (P(z)) 在这些点必须有界，所以这两个零点也应是方程（22）分子的零点。对于 (z = 1)，无论未知量 (p_A) 和 (p_B) 的值如何，条件都满足，因为（22）的分子包含因子 (E(z) - 1)。对于第二个零点 (z = \hat{z})，分子为零的要求产生了一个关于两个未知量的线性方程，另一个线性方程为 (p_A + p_B = 1)。
   • 当概率生成函数 (A(z)) 和 (B(z)) 不同时，可通过求解这两个线性方程得到未知概率 (p_A) 和 (p_B)：
     [p_A = \frac{\alpha A(E(\hat{z})) - (1 - \beta)B(E(\hat{z})) - \hat{z}}{A(E(\hat{z})) - B(E(\hat{z}))}]
     [p_B = \frac{\beta B(E(\hat{z