9、z变换的重要性质与逆变换解析

z变换的重要性质与逆变换解析

1. z变换收敛域的性质

在数字信号处理中，z变换的收敛域（ROC）具有一些重要性质：
- 双边序列的ROC：若双边序列存在ROC，则其为一个开环，即 (R_{x -}< |z| < R_{x +})。
- 有限时长序列的ROC：对于 (n < n_1) 和 (n > n_2) 时为零的有限时长序列，其ROC为整个z平面。若 (n_1 < 0)，则 (z = \infty) 不在ROC内；若 (n_2 > 0)，则 (z = 0) 不在ROC内。
- ROC与极点的关系：ROC不能包含极点，因为 (X(z)) 在极点处不收敛。并且，有理 (X(z)) 的ROC边界上至少有一个极点。此外，ROC是一个连续的区域，不会是分散的片段。

在实际的数字信号处理中，由于几乎所有的数字数据都是实时获取的，信号通常被假设为因果的，所以我们主要关注因果信号对应的ROC。

2. z变换的重要性质

z变换的性质是离散时间傅里叶变换性质的推广，以下是一些重要性质（未给出证明）：
|性质名称|表达式|ROC|
| ---- | ---- | ---- |
|线性| (Z [a_1x_1(n) + a_2x_2(n)] = a_1X_1(z) + a_2X_2(z)) | (ROC_{x1} \cap ROC_{x2}) |
|样本移位| (Z [x (n - n_0)] = z^{-n_0}X(z)) | (ROC_x) |
|频率移位| (Z [a^nx(n)] = X(\frac{z}{a})) | (ROC_x) 按 (|a|) 缩