11、拉普拉斯变换的性质与逆变换方法解析

拉普拉斯变换的性质与逆变换方法解析

1. 拉普拉斯变换的极点 - 零点图与收敛域

拉普拉斯变换（LT）的极点 - 零点图和收敛域（ROC）是理解其特性的重要工具。不同例子中的LT具有不同的极点和ROC。
- 例4 ：ROC为整个右半s平面，不包括jω轴。U(s) = 1/s的单极点在s = 0处，其极点 - 零点图与规则1一致。
- 例5 ：ULT的极点在s = σx ± jωx，零点在s = σx + ωx tan(θx)。根据规则1，ROC应为{s : Re{s} > Re{σx ± jωx} = σx}，这与例5的解一致。

以下是相关示例的极点 - 零点图示意：
| 示例 | 极点位置 | ROC |
| ---- | ---- | ---- |
| 例4 | s = 0 | 整个右半s平面，不包括jω轴 |
| 例5 | s = σx ± jωx | {s : Re{s} > σx} |

2. 拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换具有多种有用的性质，这些性质可用于简化正变换和逆变换的计算，以及信号和系统设计与分析中的其他操作。

以下是单边拉普拉斯变换的操作性质列表：
| 操作描述 | 形式操作 | 相应的LT |
| ---- | ---- | ---- |
| 线性 | αx(t) + βy(t) | αX(s) + βY(s) |
| 时间延迟 (t0 > 0) | x(t - t0)u(t - t0) | e^(-st0)X(s) |