13、拉普拉斯变换的性质与逆变换方法解析

拉普拉斯变换的性质与逆变换方法解析

1. 拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换在信号与系统设计和分析中具有重要作用，其一些性质对于计算正变换、逆变换以及其他操作非常有用。以下是单边拉普拉斯变换的一些常见操作性质：
| 操作描述 | 形式操作 | 对应的拉普拉斯变换 |
| — | — | — |
| 线性 | $\alpha x(t) + \beta y(t)$ | $\alpha X(s) + \beta Y(s)$ |
| 时间延迟（$t_0 > 0$） | $x(t - t_0)u(t - t_0)$ | $e^{-st_0}X(s)$ |
| 时间中的指数调制（或复频率（“$s$”）偏移） | $e^{s_0t}x(t)$ | $X(s - s_0)$ |
| 乘以$t^k$，$k = 1, 2, \ldots$ | $t^k x(t)$ | $(-1)^k\frac{d^k X}{ds^k}$ |
| 时间微分 | $\frac{d^k x}{dt^k}$ | $s^k X(s) - \sum_{i = 0}^{k - 1}s^{k - i - 1}x^{(i)}(0^-)$ |
| 时间积分 | $\int_{-\infty}^t x(\lambda)d\lambda$ | $\frac{X(s)}{s} + \frac{x^{(-1)}(0^-)}{s}$ |
| 卷积 | $\int_{0}^{\infty}x(\lambda)y(t - \lambda)d\lambda$ | $X(s)Y(s)$ |
| 相关 | $\int_{0}^{\infty}x(t)y(t + \tau)dt$ | $X(s