15、z变换与系统变换分析全解析

z变换与系统变换分析全解析

1. z变换相关基础

z变换在离散时间信号处理中有着至关重要的地位。通过对一个序列进行z变换，可以将时域的问题转换到z域进行分析，从而简化很多复杂的计算。

在求解差分方程时，常常会用到部分分式展开的方法。例如，对于一个差分方程，经过部分分式展开后，我们可以通过取逆z变换来找到序列(v(n))。

对于差分方程的解，通常由两部分组成。一部分是齐次解(y_h(t)=Ae^{-\alpha t})，其中(A)是一个常数，需要根据初始条件(y(0^-)=1)来确定。另一部分是特解，将两者相加就得到了差分方程的总解。

在一些近似计算中，如果(T << 1)，会有一些特殊的近似关系，比如(e^{-\alpha T}\approx(1 + \alpha T)^{-1})。

2. z变换的补充问题

2.1 求z变换

这里有一系列求z变换的问题：
- 求序列(x(n) = (-1)^n u(n))、(x(n) = \frac{1}{2}u(n - 1))、(x(n) = z\cosh(\alpha n)u(n))等的z变换。
- 已知序列(x(n))的z变换，当收敛域包含单位圆时，求其在(\omega = \frac{\pi}{2})处的离散时间傅里叶变换（DTFT）。
- 还有关于特定序列的z变换求解，如某些未明确给出的序列等。

2.2 序列性质相关

• 对于一个右边序列(x(n))，已知其z变换(X(z))，求(n < 0)时(x(n))的值。
• 利用z变换来