13、信号处理中的Z变换与小波变换

信号处理中的Z变换与小波变换

1. Z变换基础

Z变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的一种推广，在信号处理领域有着重要的应用。它可以帮助我们解决线性常系数差分方程，并且与拉普拉斯变换（LT）也存在一定的联系。

1.1 单边Z变换的时移性质

对于单边Z变换，我们需要重新推导时移性质。假设给定序列(x[n - i])，其单边Z变换为：
[
\begin{align }
\sum_{n = 0}^{+\infty}x[n - i]z^{-n}&=\sum_{p = -i}^{+\infty}x[p]z^{-(p + i)}\
&=\sum_{p = -i}^{-1}x[p]z^{-(p + i)}+z^{-i}\sum_{p = 0}^{+\infty}x[p]z^{-p}\
&=x[-i]+\cdots +x[-1]z^{-(i - 1)}+z^{-i}X(z)
\end{align }
]
通过对差分方程两边取单边Z变换，并利用线性和时移性质，我们可以求解方程。输出(y[n])（(n\geq0)）可以通过对(Y(z))进行逆Z变换得到：
[
Y(z)=\left(\frac{\sum_{k}a_{k}z^{-k}}{\sum_{k}b_{k}z^{-k}}\right)X(z)+\left(\frac{\sum_{k}a_{k}\sum_{p}x[p]z^{-(p + k)}-\sum_{k}b_{k}\sum_{p}y[p]z^{-(p + k)}}{\sum_{k}b_{k}z^{-k}}\right)
]