9、贝尔多项式的性质及相关序列研究

贝尔多项式的性质及相关序列研究

1. 贝尔多项式的实零点性质

贝尔多项式具有仅含实零点的特性。证明此性质需借助递归式 (B_n(x) = x(B_{n - 1}(x) + B_{n - 1}’(x)))，其等价形式为 (B_n(x) = e^{-x}x(e^xB_{n - 1}(x))’)。
- 证明过程 ：
1. 基础情况：(B_1(x) = x)，显然满足实零点性质。
2. 归纳假设：假设 (B_{n - 1}(x)) 的所有零点均为实数。由于指数函数 (e^x) 恒为正，所以 (e^xB_{n - 1}(x)) 与 (B_{n - 1}(x)) 具有相同的零点集。
3. 利用罗尔定理：因为 (B_{n - 1}(x)) 有 (n - 1) 个零点，其中 (n - 2) 个为负零点，一个为 (x = 0)，所以 (e^xB_{n - 1}(x)) 的导数在 (0) 左侧且在最大负零点右侧以及负零点之间有 (n - 2) 个负零点。又因为 (e^x) 在 (-\infty) 处渐近为 (0)，所以 ((e^xB_{n - 1}(x))’) 在 (-\infty) 与 (B_{n - 1}(x)) 的最左侧零点之间还有一个零点。
4. 得出结论：在 (x = 0) 处还有一个零点，因此 (B_n(x)) 共有 (n) 个实且非正的零点。
- 交错性质 ：进一步观察发现，(B_n(x)) 的零点不仅除 (x = 0) 外均为负，且负零点为单零点，除最左侧零点外，其余负零点位于 (B_{n - 1}(x)) 的零点之中，最左侧零点在 (B_{n - 1}(x)) 最左侧零点的左侧，这一现象