贝尔数&&斯特灵数&&调和数&&伯努利数

贝尔数
1.定义：Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。
2.递推式：$B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k}$
3.性质：
1)$B_n=\sum_{k=1}^n S(n,k).$
$S(n,k)$为第二类斯特灵数：把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。
2）$B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}\ (\operatorname{mod}\ p).$

斯特灵数
1.第一类：第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方法数目
$s(n,k)=s(n-1,k-1) + (n-1) s(n-1,k)$

性质：
1$.| s(n,1) | =(n-1)!$
2.$s(n,2) = (-1)^n (n-1)!\;H_{n-1}$
3.$x^{\underline{n}}= x(x-1)(x-2)\ldots(x-n+1) = \sum_{k=1}^n s(n,k)x^k$

2.第二类：第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目$S(n,k) = S(n-1,k-1) + k S(n-1,k)$

性质：
1.$S(n,n-1)=C(n,2)=n(n-1)/2$ 证略
2.$S(n,2)=2^{n-1} - 1$ 证略
3.$S(n,k) =\frac{1}{k!}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{k-j} C(k,j) j^n$

调和数
1.$H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$

2.$\sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_n - n$

伯努利数
1.伯努利多项式：
$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = 0^n + 1^n + 2^n + \cdots + {(m-1)}^n$

2.$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = {1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}} B_k m^{n+1-k}$

3.递推式：$\sum_{j=0}^m{m+1\choose{j}}B_j = 0$